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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
(→Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate) |
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* In '''Aufgabe 1''' kannst du die '''Berechnung der mittlere Änderungsrate''' anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. | * In '''Aufgabe 1''' kannst du die '''Berechnung der mittlere Änderungsrate''' anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. | ||
− | * In '''Aufgabe 2''' übst du die '''Berechnung der | + | * In '''Aufgabe 2''' übst du die '''Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext'''. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung von mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen. |
− | * In '''Aufgabe 3''' beschäftigst du dich mit der '''Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate'''. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe. | + | * In '''Aufgabe 3''' beschäftigst du dich mit der '''Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate'''. In den Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe. |
*In '''Aufgabe 4''' musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. | *In '''Aufgabe 4''' musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. | ||
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{{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | {{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | ||
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Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet. | Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet. | ||
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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so: | Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so: | ||
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Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}} | Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}} | ||
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'''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | '''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet''' | ||
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Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen. | Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen. | ||
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Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}} | Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}} | ||
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+ | Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an. [[File:Afgeleide.svg|250px|links|rahmenlos|Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen]]}} | ||
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+ | {{Merke|'''Tangente''' | ||
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+ | Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt. | ||
[[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} | [[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}} | ||
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Achte auf die Vorzeichen!</popup> | Achte auf die Vorzeichen!</popup> | ||
− | <popup name="Lösung"> | + | <popup name="Lösung">'''a)''' Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall <math>[2,5]</math> zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen:<math>f(2)=4\cdot2+2=10 </math> und <math> f(5)=4\cdot5+2=22</math> |
Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: <math>\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4</math> | Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: <math>\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4</math> | ||
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− | + | b) <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math> | |
Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math> | Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math> | ||
− | + | c) <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math> | |
Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup>}} | Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup>}} | ||
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'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. | '''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. | ||
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+ | <popup name="Tipp">Hier sollst du Begriffspaare bilden. Das Paar soll aus einem Begriff zur mittleren Änderungsrate und einem Begriff zur lokalen Änderungsrate bestehen. Die Begriffe sollen inhaltlich zueinander passen, wie zum Beispiel das Begriffspaar Sekante (mittlere Änderungsrate) und Tangente (lokale Änderungsrate).</popup> | ||
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<popup name="Lösung" | <popup name="Lösung" | ||
>{| class="wikitable" | >{| class="wikitable" | ||
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'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | '''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | ||
− | <popup name=" | + | <popup name="Lösung">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10\cdot3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10 \cdot 5-5^2=50-25=25</math>.</popup> |
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'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. | '''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. | ||
− | + | <popup name="Tipp">Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit.</popup> | |
− | < | + | <popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup> |
− | <popup name="Lösung | + | <popup name="Lösung">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2\cdot3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2\cdot5=10-10=0</math>.</popup> |
− | + | '''c)''' Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn? | |
− | <popup name="Lösung | + | <popup name="Lösung">Die angegebene Funktion kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden an der Ampel stehen geblieben ist. Somit ist der Weg, der durch die genannte Funktion beschrieben wird, zu Ende.</popup> |
}} | }} | ||
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==Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate== | ==Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate== | ||
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{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| | {{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| | ||
− | Die Funktion <math>f(x) = -1/2 | + | Die Funktion <math>f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3</math> ist in der folgenden Abbildung dargestellt: |
[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]] | [[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]] | ||
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7)0,8</popup>}} | 7)0,8</popup>}} | ||
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+ | [[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]] |
Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:59 Uhr
Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.
Viel Spaß beim Bearbeiten! :) |
Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels
Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.
Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet
Der Ausdruck wird auch Differenzenquotient genannt. |
Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet
Der Grenzwert von für h gegen 0 heißt Differenzialquotient. |
Sekante
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Tangente
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Berechnung der mittleren Änderungsrate
Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.
b) im Intervall c) im Intervall
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Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext
Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen. a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?
b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
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Unterscheidung der Änderungsraten
a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
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Änderungsraten im Sachzusammenhang
für a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
c) Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn? |
Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt ? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf . für x gegen 2. |
Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate
a) Was gibt die Variable ms an? b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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