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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Gemischte Aufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>f(x)=2x^3-x^2+1</math> | <math>f(x)=2x^3-x^2+1</math> | ||
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| − | Die | + | Die Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat mindestens Grad 3 und besitzt keine Nullstellen. |
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| + | Der Graph geht für x->-∞ und für x->∞ gegen ∞ und verhält sich nahe Null wie <math>f(x)=x^3-1</math>. | ||
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| + | Der Graph hat einfache Nullstellen bei -2 und 0 sowie eine doppelte bei 3. | ||
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| + | <popup Name="Tipp">Bei a) muss eine Nullstelle 0 sein, damit die Punktsymmetrie erhalten bleibt.</popup> | ||
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'''a)''' | '''a)''' | ||
| − | z.B. f(x)=x^3 | + | z.B. <math>f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x</math> |
'''b)''' | '''b)''' | ||
| − | z.B. f(x)=x^4+1 | + | z.B. <math>f(x)=x^4+1</math> |
'''c)''' | '''c)''' | ||
| + | z.B. <math>f(x)=x^4+x^3-1</math> | ||
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| + | '''d)''' | ||
| + | <math>f(x)=(x+2)x(x-3)^2</math> | ||
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| + | <popup Name="Lösung"> | ||
| + | '''Wahr''' | ||
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| + | Es gibt keine ganzrationale Funktion dritten Grades ohne Nullstellen. Begründung: Da eine ganzrationale Funktion dritten Grades ein unterschiedliches Unendlichkeitsverhalten für x->∞ und x->-∞ aufweist, hat der Graph zwangsläufig eine Nullstelle. | ||
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| + | Gegeben sei die Funktion $$f(x)=x^3-2x^2+1$$. Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Begründung: Durch eine Verschiebung entlang der y-Achse kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Verschiebung anhand der x-Achse klappt allerdings nicht. | ||
| + | |||
| + | '''Falsch''' | ||
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| + | Der Graph einer ungeraden Funktion verläuft durch den Ursprung. Begründung: Gegenbeispiel: <math>f(x)=x^3-1</math> | ||
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| + | Eine ganzrationale Funktion dritten Gerades hat genau drei Nullstellen. Begründung: Sie hat maximal drei Nullstellen, kann aber auch weniger haben (<math>f(x)=x^3</math> hat nur eine Nullstelle bei x=0). | ||
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| + | Wenn eine ganzrationale gerade Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Nullstelle. Begründung: Gegenbeispiel: <math>f(x)=x^4</math> hat nur bei 0 eine Nullstelle. | ||
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| + | Durch Stauchen des Graphen einer ganzrationalen Funktion kann man das Verhalten des Graphen für x gegen Unendlich verändern. Begründung: Egal wie sehr die Funktion gestaucht wird, früher oder später bleibt das Unendlichkeitsverhalten gleich. | ||
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Aktuelle Version vom 27. November 2019, 09:39 Uhr
 Aufgabe 1 Graphen skizzieren
Skizziere folgende Graphen. Achte dabei auf das Verhalten nahe Null und gegen Unendlich sowie auf die Symmetrie. a)
b)
c)
d)
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Aufgabe 2 Funktionsgleichung aufstellen
Bestimme mit den gegebenen Eigenschaften eine passende Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. a) Die Graph ist punksymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau 3 Nullstellen. b) Die Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat mindestens Grad 3 und besitzt keine Nullstellen. c)
Der Graph geht für x->-∞ und für x->∞ gegen ∞ und verhält sich nahe Null wie d) Der Graph hat einfache Nullstellen bei -2 und 0 sowie eine doppelte bei 3. |
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| Aufgabe 3
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hat nur eine Nullstelle bei x=0).
hat nur bei 0 eine Nullstelle.
