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Trainingsfeld Ableitungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
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Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?
  
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Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
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{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differenzialquotienten. }
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{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
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{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
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{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
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{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.
  
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{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
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{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
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{ Der Wert des Differenzenquotient  <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
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{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
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{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
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{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
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{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.
  
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Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
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{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
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{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
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{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>g(x)</math>. }
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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====
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Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]] noch einmal an.
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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====
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Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten|Graphisches Ableiten]] noch einmal an.
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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 10. Dezember 2018, 17:22 Uhr

Inhaltsverzeichnis


Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen

Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie wahr oder falsch sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.


1. Wir betrachten eine Funktion f auf einem Intervall [a,b]. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten \frac{f(b)-f(a)}{b-a} beschrieben.

Wahr
Falsch

2. Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht.

Wahr
Falsch

3. Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differenzialquotienten.

Wahr
Falsch

4. Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen.

Wahr
Falsch

5. Eine Funktion f beschreibt die Geschwindigkeit km/h eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit t. Der Ausdruck \frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3 beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit t=3.

Wahr
Falsch

6. Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x=0 für x \rightarrow 0 beträgt 5. Die Steigung der Tangente an der Stelle x=0 beträgt dann ebenfalls 5.

Wahr
Falsch

7. In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

Bild zu Diagnoseitem

Wahr
Falsch

8. Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten.

Wahr
Falsch

9. Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.

Wahr
Falsch

10. Der Wert des Differenzenquotient \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} entspricht der Steigung der Tangente.

Wahr
Falsch

11. Ist die Ableitung einer Funktion f(x) in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an f(x) in diesem Punkt einen konstanten Wert.

Wahr
Falsch

12. Gegeben ist die Funktion f(x)=-3x+2. Der Ableitungsgraph f'(x) dieser Funktion befindet sich für alle x oberhalb der x-Achse.

Wahr
Falsch

13. Eine Funktion f(x) besitzt an den Stellen x_1=-2 und x_2=2 jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph f'(x) die x-Achse insgesamt zweimal.

Wahr
Falsch

14. In Abbildung A ist der Graph einer Funktion f(x) gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f'(x).

links: A, rechts: B

Wahr
Falsch

15. Die Funktion h(t) beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen. Dann gibt die Ableitung h'(t) das Wachstum der Pflanze an.

Wahr
Falsch

16. Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion f(x) beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit x in Stunden. Wenn es im Zeitraum x_1 bis x_2 dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich x_1 bis x_2.

Wahr
Falsch

17. Bei einem Autorennen gibt die Funktion g(x) die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit x in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion g(x).

Wahr
Falsch

Punkte: 0 / 0


Wie geht es nun weiter?

Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.


Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht

Schaue dir das Thema Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate noch einmal an.


Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht

Schaue dir das Thema Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten noch einmal an.


Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht

Schaue dir das Thema Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt noch einmal an.


Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht

Schaue dir das Thema Graphisches Ableiten noch einmal an.


Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht

Schaue dir das Thema Die Ableitung im Sachkontext noch einmal an.

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