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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der '''mittleren''' und '''lokalen Änderungsrate'''.
 
Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der '''mittleren''' und '''lokalen Änderungsrate'''.
  
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In '''Aufgabe 1''' geht es darum, die '''mittlere Änderungsrate''' zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen.
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* In '''Aufgabe 1''' kannst du die '''Berechnung der mittlere Änderungsrate''' anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  
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In '''Aufgabe 2''' beschäftigst du dich mit der '''Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate'''. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
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*  In '''Aufgabe 2''' übst du die '''Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext'''. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung von mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
  
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Den '''Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate''' erarbeitest du in '''Aufgabe 3'''. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.
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* In '''Aufgabe 3''' beschäftigst du dich mit der '''Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate'''. In den Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
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*In '''Aufgabe 4''' musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
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* Den '''Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate''' erarbeitest du in '''Aufgabe 5'''. Dies ist eine Förderaufgabe.  
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* In '''Aufgabe 6''' geht es um die '''geometrischen Zusammenhänge'''. Dies ist eine Forderaufgabe.
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Viel Spaß beim Bearbeiten! :)
  
 
</td></tr></table></center>  
 
</td></tr></table></center>  
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__TOC__
 
__TOC__
  
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{{Merke|Was man sich merken soll}}
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==Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels==
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Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.
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{{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet'''
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Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet.
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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so:
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<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.
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Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}}
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{{Merke|
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'''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet'''
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Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen.
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Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.
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Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}}
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{{Merke|'''Sekante'''
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Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an. [[File:Afgeleide.svg|250px|links|rahmenlos|Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen]]}}
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{{Merke|'''Tangente'''
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Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.
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[[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}}
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==Bestimmung von mittleren Änderungsraten==
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==Berechnung der mittleren Änderungsrate==
  
 
{{Aufgaben|1: Berechnung der mittleren Änderungsrate|   
 
{{Aufgaben|1: Berechnung der mittleren Änderungsrate|   
  
  
−
'''Berechne die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Intervallen zunächst auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst. '''
+
Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.
  
  
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<math>1. f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math>
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'''a)'''<math>f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math>
  
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<math>2. g(x)=x^2</math> im  Intervall  <math>[2,7]</math>
+
'''b)'''<math>g(x)=x^2</math> im  Intervall  <math>[2,7]</math>
  
−
<math>3. h(x)=x^3-2</math> im  Intervall  <math>[-2,1]</math>
+
'''c)'''<math>h(x)=x^3-2</math> im  Intervall  <math>[-2,1]</math>
  
  
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<popup name="Tipp ">
 
<popup name="Tipp ">
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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet man so:
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Wie man die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet, schaue einmal oben im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach.</popup>
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<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.</popup>
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<popup name="Tipp zu h(x)">
 
<popup name="Tipp zu h(x)">
 
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
 
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
  
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<popup name="Lösung">1. Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall <math>[2,5]</math> zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen:<math>f(2)=4*2+2=10 </math> und <math> f(5)=4*5+2=22</math>  
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<popup name="Lösung">'''a)''' Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall <math>[2,5]</math> zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen:<math>f(2)=4\cdot2+2=10 </math> und <math> f(5)=4\cdot5+2=22</math>  
  
 
Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: <math>\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4</math>
 
Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: <math>\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4</math>
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2. <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math>  
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b) <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math>  
  
 
Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math>
 
Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math>
  
  
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3. <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math>  
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c) <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math>  
  
 
Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup>}}
 
Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup>}}
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==Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext==
  
 
{{Aufgaben|2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext|   
 
{{Aufgaben|2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext|   
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Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.
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Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen.
  
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'''a)''' Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? }}
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'''a)''' Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?  
  
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<div class="multiplechoice-quiz">
 
  
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(!30)  (!2,4)  (!24)  (!29,71)  (26)
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<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall <math> [2010, 2018]</math> gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>
  
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</div>
 
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<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall <math> [2010, 2018]</math> gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach. </popup>
 
 
<popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
 
<popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
  
 
<math> \frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26 </math>
 
<math> \frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26 </math>
  
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Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>
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Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt '''pro Jahr 26 Mitglieder''' in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>
  
 
'''b)''' Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
 
'''b)''' Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
  
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<div class="multiplechoice-quiz">
 
  
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(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.)  (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.)  (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)
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<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>
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</div>
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<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an. </popup>
 
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.
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'''Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.'''
  
 
Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.
 
Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.
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Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war.
 
Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war.
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</popup>  
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</popup> }}
  
  
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==Unterscheidung der Änderungsraten==
 
==Unterscheidung der Änderungsraten==
  
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{{Aufgaben|2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate|
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{{Aufgaben|3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate|
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'''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur durchsnittlichen oder lokalen Änderungsrate zieht.
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'''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<popup name="Tipp: Durschnittliche Änderungsrate">Die Formel <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
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<popup name="Tipp: Mittlere Änderungsrate">Sieh dir oben das Merkkästchen zur mittleren Änderungsrate nochmal an.</popup>
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Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>).
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[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup>
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<popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Schau dir das oben aufgeführte Merkkästchen zur lokalen Änderungsrate an.</popup>
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<popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Die Formel →<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup>
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'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.
  
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<popup name="Tipp">Hier sollst du Begriffspaare bilden. Das Paar soll aus einem Begriff zur mittleren Änderungsrate und einem Begriff zur lokalen Änderungsrate bestehen. Die Begriffe sollen inhaltlich zueinander passen, wie zum Beispiel das Begriffspaar Sekante (mittlere Änderungsrate) und Tangente (lokale Änderungsrate).</popup>
  
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'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe und Formeln gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.
 
 
<popup name="Lösung"
 
<popup name="Lösung"
 
>{| class="wikitable"
 
>{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
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! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate
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! mittlere Änderungsrate !! lokale Änderungsrate
 
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| Sekante || Tangente
 
| Sekante || Tangente
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}}
 
}}
  
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{{Aufgaben|3: Änderungsraten im Sachzusammenhang|
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==Änderungsraten im Sachzusammenhang==
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{{Aufgaben|4: Änderungsraten im Sachzusammenhang|
  
 
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:
 
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:
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'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
 
'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
  
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<popup name="Tipp 1">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit.</popup>
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<popup name="Lösung">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10\cdot3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10 \cdot 5-5^2=50-25=25</math>.</popup>
  
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<popup name="Tipp 2">Zur Berechnung der momentanen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup>
 
  
 
'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
 
'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
  
−
'''c)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?
+
<popup name="Tipp">Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit.</popup>
  
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<popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup>
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pg7j9c1ek18" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Lösung">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2\cdot3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2\cdot5=10-10=0</math>.</popup>
  
−
<popup name="Lösung a)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10*3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10*5-5^2=50-25=25</math>.</popup>
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'''c)''' Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?
  
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<popup name="Lösung b)">Die momentane Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2*3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2*5=10-10=0</math>.</popup>
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<popup name="Lösung">Die angegebene Funktion kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden an der Ampel stehen geblieben ist. Somit ist der Weg, der durch die genannte Funktion beschrieben wird, zu Ende.</popup>
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<popup name="Lösung c)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup>
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}}
 
}}
  
 +
==Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==
  
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==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate==
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{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate|  
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{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| <math>f(x) = -1/2*(x-1)^2+3</math>
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Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
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[[Datei:Funktionsgraph.PNG|500px|links|rahmenlos|Bild des Funktion f]]
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In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
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[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|links|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
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Die Funktion <math>f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3</math> ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
  
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[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]]
  
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In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
  
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[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
  
 +
'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
  
−
 
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<popup name="Lösung">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
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'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
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'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
 
'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
  
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<popup name="Tipp zu 3a.2)">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
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<popup name="Tipp">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
  
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'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
+
<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man durch 0 teilen, da man <math>\frac {f(2)-f(2)} {2-2} = \frac {f(2)-f(2)} {0}</math> rechnen würde. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdbfw1aq318" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math>? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
  
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<popup name="Tipp zu 3a.3) zum Lückentext">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdbfw1aq318" style="border:0px;width:100%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<popup name="Lösung zu 1)">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
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<popup name="Tipp">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup> für x gegen 2.
  
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<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
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<popup name="Lösung"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der Wert der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differenzialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten →<math>\frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differenzialquotienten. Letzterer gibt die lokale Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math> an.</popup>}}
  
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<popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.</popup>}}
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==Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==
  
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{{Aufgaben|6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate|(Forder-Aufgabe)  
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{{Aufgaben|6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)| 
  
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Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
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Im folgenden Applet ist die Funktion <math>f(x) = 0,2x^2+0,5</math> dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
  
 
<iframe scrolling="no" title="Zusammenhang von Differential- und Differenzenquotient diff" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h7hjqw9y/width/800/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe>
 
<iframe scrolling="no" title="Zusammenhang von Differential- und Differenzenquotient diff" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h7hjqw9y/width/800/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe>
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'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
 
'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
  
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<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante an.</popup>
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<popup name="Tipp"> m ist dir als Steigung einer Geraden bekannt. Wie nennt man die Gerade, deren Steigung hier mit m<sub>s</sub> benannt ist?</popup>
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<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B an.</popup>
  
 
'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
 
'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<popup name="Tipp Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup>
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<popup name="Tipp">Verschieben den "x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>"-Schieberegler in der oberen Darstellung und lies die gesuchten Werte in der Formel zum Differenzenquotienten ab.</popup>
  
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<popup name="Tipp Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup>
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<popup name="Tipp Sekante">Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Sekante an.</popup>
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<popup name="Tipp Tangente">Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Tangente an.</popup>
  
 
<popup name="Tipp"><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe></popup>
 
<popup name="Tipp"><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe></popup>
  
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3)Sekante
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2018, 23:59 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

  • In Aufgabe 1 kannst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 2 übst du die Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung von mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
  • In Aufgabe 3 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In den Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 4 musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Viel Spaß beim Bearbeiten! :)


Inhaltsverzeichnis


Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet


Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f in einem Intervall [x_0, x_1] gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von f in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekanten an, die die Punkte (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1))) verbindet.


Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x_0, x_1] berechnet man so: \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}.

Der Ausdruck \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0} wird auch Differenzenquotient genannt.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet


Die lokale Änderungsrate einer Funktion f gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle x an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion f. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung f'(x) berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert von \frac{f(x+h)-f(x)} {h} für h gegen 0 heißt Differenzialquotient.


Nuvola apps kig.png   Merke

Sekante


Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.
Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen


Nuvola apps kig.png   Merke

Tangente


Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente


Berechnung der mittleren Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate


Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.


a)f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

b)g(x)=x^2 im Intervall [2,7]

c)h(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]


Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Stift.gif   Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?


b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?



Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.


b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

s(t)=10t-t^2 für t\in [0;5]

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.


b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?

Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate


Die Funktion f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3 ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Bild des Funktion f

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt P = (2|2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f

a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt P = (2|2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf \frac {f(2)-f(x)} {2-x}.

für x gegen 2.

Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)


Im folgenden Applet ist die Funktion f(x) = 0,2x^2+0,5 dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x1-x0-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

a) Was gibt die Variable ms an?

b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.

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