Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen
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| *'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br /> | | *'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br /> |
| *'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | | *'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> |
| + | *'''<span style="color: #EE1289 ">p: x -> cos(x)</span>'''<br /> |
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− | Alle Funktionen haben gemeinsam, dass im Funktionsterm <br /> | + | Alle ganzrationalen Funktionen haben gemeinsam, dass in ihrem Funktionsterm <br /> |
| '''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit geraden Exponenten</span>'''<br /> | | '''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit geraden Exponenten</span>'''<br /> |
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− | | <ggb_applet width="450" height="530" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" useLocalJar="true"/> | + | | valign="top"|[[Datei:Achsensymmetrische Funktionen.png|300px]] |
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Version vom 13. Juli 2013, 13:15 Uhr
Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.
Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
Was fällt dir auf?
Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Welche Funktion wird hier abgebildet?
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Allgemein
Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x).
Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df:
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.
Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?
Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?
Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion f(x) gegeben, die du noch verändern kannst.
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.
Stelle die Parameter a, b, c, d, e so ein, dass f achsensymmetrisch zur y- Achse ist.
Woran liegt das?
Antwort:
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen x- Werte einer Funktion h gelten.
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben:
Z. B.: h: x -> x12 - 4x8 - 1
h(-x)
= (-x)12 - 4 (-x)8 - 1
= (+x)12 - 4 (+x)8 - 1
= x12 - 4x8 - 1
= h(x)
Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen, sind deren Vorzeichen falsch und die Funktion ist nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse:
Z. B.: k(x) = x12 - 4x9 - 1
k(-x)
= (-x)12 - 4(-x)9 - 1
= (+x)12 - 4 (-x)9 - 1
= x12 + 4x9 - 1
≠ k(x)
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Übung
Ist die Funktion gerade oder nicht?
Ordne die Funktionsterme und Graphen der richtigen Seite zu.
Manipulationen an Funktionen
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