Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Was man sich merken soll

  Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate

Berechne die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Intervallen zunächst auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.

im Intervall

im Intervall

im Intervall

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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so:

.

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1. Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen: und

Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so:

Bei g(x) und f(x) kannst du bei der Berechnung der mittleren Änderungsrate nach demselben Prinzip vorgehen.

2. und

Berechnung der mittleren Änderungsrate:

3. und

Berechnung der mittleren Änderungsrate:

  Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

  Aufgabe 2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur durchsnittlichen oder lokalen Änderungsrate zieht.

Tipp: Durschnittliche Änderungsrate anzeigen

Tipp: Durschnittliche Änderungsrate verstecken
Die Formel stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [;] an.

Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(|) und Q(|).

Tipp: Lokale Änderungsrate anzeigen

Tipp: Lokale Änderungsrate verstecken
Die Formel → heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.

b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe und Formeln gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

  Aufgabe 3: Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

für

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn?

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Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn . Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt .

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Die momentane Änderungsrate entspricht der Geschwindigkeit. und .

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Lösung c) verstecken
Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.

  Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate

Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf .

Tipp zu 3a.3) zum Lückentext anzeigen

Tipp zu 3a.3) zum Lückentext verstecken
Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient

Lösung zu 3) anzeigen

Lösung zu 3) verstecken
Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.

  Aufgabe 6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate

(Forder-Aufgabe)

Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x₁-x₀-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

a) Was gibt die Variable m_s an?

b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.