Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. Mai 2018, 08:41 Uhr

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Scheitelpunktform
2 Scheitelpunktform und Normalform
- 2.1 Von der Scheitelpunktform zur Normalform
- 2.2 Von der Normalform zur Scheitelpunktform
3 Anwendungsaufgabe "Turm"

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

Fülle den folgenden Lückentext aus.

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Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.

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Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:

$1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1$
$2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2$

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Lösungen zu den Graphen anzeigen

Funktionsgleichungen aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.

b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.

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Scheitelpunktform und Normalform

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Merke

1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term $x^2+6x+15$ .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x² ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:

Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor

Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

$3x^2-24x+60$ | Faktor 3 ausklammern
$3(x^2-8x+20)$ | Faktor 2 "herausziehen"
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20)$ | quadratische Ergänzung
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20)$ | 2. Binomische Formel
$3((x-4)^2-4^2+20)$ | zusammenfassen
$3((x-4)^2+4)$ | ausmultiplizieren
$3(x-4)^2+12$

Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

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Anwendungsaufgabe "Turm"

Aufgabe 8 Turm

Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung
$f(x)=-0.08x^2-0.8x+15$
beschrieben werden ( x und f(x) in Metern).
Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen:
1. Wie hoch ist der Turm?
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt.
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?