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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate)
(→‎Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate)
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==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate==
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In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
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In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
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[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
 
[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
  
 
'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
 
'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
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<popup name="Lösung">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
  
 
'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
 
'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
  
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<popup name="Tipp zu 3a.2)">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
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<popup name="Tipp">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
  
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'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
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<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
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'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math>? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
  
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdbfw1aq318" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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<popup name="Tipp zu 3a.3) zum Lückentext">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup>
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<popup name="Tipp">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup>
  
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<popup name="Lösung zu 1)">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
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<popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der Wert der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differenzialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten →<math>\frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differenzialquotienten. Letzterer gibt die lokale Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math> an.</popup>}}
  
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<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
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==graphischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==
  
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<popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.</popup>}}
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{{Aufgaben|6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| (Forder-Aufgabe)  
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{{Aufgaben|6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate|(Forder-Aufgabe)  
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Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
 
Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
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'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
 
'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
  
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<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante an.</popup>
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<popup name="Tipp"> m ist dir als Steigung einer Geraden bekannt. Wie nennt man die Gerade, deren Steigung hier mit m<sub>s</sub> benannt ist?</popup>
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<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B an.</popup>
  
 
'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
 
'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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<popup name="Tipp Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup>
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<popup name="Tipp Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup>
  
 
<popup name="Tipp Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup>
 
<popup name="Tipp Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup>

Version vom 16. November 2018, 16:13 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen.

In Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.

Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.


Inhaltsverzeichnis

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Was man sich merken soll

Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate


Berechne die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Intervallen zunächst auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.


1. f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

2. g(x)=x^2 im Intervall [2,7]

3. h(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]


Stift.gif   Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

prüfen!

b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

prüfen!


Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur durchsnittlichen oder lokalen Änderungsrate zieht.


b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe und Formeln gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

Stift.gif   Aufgabe 3: Änderungsraten im Sachzusammenhang


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

s(t)=10t-t^2 für t\in [0;5]

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?



Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate 
f(x) = -1/2*(x-1)^2+3

Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Bild des Funktion f

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt P = (2|2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f

a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt P = (2|2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf \frac {f(2)-f(x)} {2-x}.

graphischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 6: graphischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate 
(Forder-Aufgabe)

Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x1-x0-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

a) Was gibt die Variable ms an?

b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.

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