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Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Graph der Funktion '''<span style="color:blue ">f: x -> </span>'''<math>\blue \frac{4x-3}{x}</math> scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade '''<span style="color: #EE7600 ">y = 4</span>''' anzunähern.<br />
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Der Graph der Funktion '''<span style="color:blue ">f: x -> '''<math>\frac{4x-3}{x}</math></span> scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade '''<span style="color: #EE7600 ">y = 4</span>''' anzunähern.<br />
 
Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an.<br />
 
Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an.<br />
 
Durch das GeoGebra-Werkzeug "Vergrößere" hat es aber den Anschein, als würden sich die beiden Graphen nie berühren.<br />
 
Durch das GeoGebra-Werkzeug "Vergrößere" hat es aber den Anschein, als würden sich die beiden Graphen nie berühren.<br />
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Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' unverändert bleibt.<br />
 
Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' unverändert bleibt.<br />
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Die Betrachtung einer Funktion f unter immer '''<span style="color: red">größer</span>''' werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:<br />
 
Die Betrachtung einer Funktion f unter immer '''<span style="color: red">größer</span>''' werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:<br />
 
<center><math>\lim_{x \to \infty}f (x)</math></center><br />
 
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sprich'''''"Limes von f (x) für x gegen '''<span style="color: red">+</span>''' <math>\red \infty</math>"'''''
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Durch den '''''Limes von f (x) für x gegen '''<span style="color: red">-</span>''' <math>\red \infty</math>'''''<br /> <center><math>\lim_{x\rightarrow\ -\infty} f(x)</math></center><br /> wird untersucht, wie sich f (x) für immer '''<span style="color: red">kleiner</span>''' werdende x- Werte verhält.
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Durch den '''''Limes von f (x) für x gegen '''<span style="color: red">-</span>''' <math> \infty</math>'''''<br /> <center><math>\lim_{x\rightarrow\ -\infty} f(x)</math></center><br /> wird untersucht, wie sich f (x) für immer '''<span style="color: red">kleiner</span>''' werdende x- Werte verhält.
  
  
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Im Applet siehst du die gebrochen rationale Funktion '''<span style="color: blue"><math>\blue f(x)=\frac{ax+b}{x}</math></span>'''.<br />
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Im Applet siehst du die gebrochen rationale Funktion '''<span style="color: blue"><math> f(x)=\frac{ax+b}{x}</math></span>'''.<br />
  
 
Über die Schieberegler '''a''' und '''b''' lässt sich der Graph der Funktion verändern.<br />
 
Über die Schieberegler '''a''' und '''b''' lässt sich der Graph der Funktion verändern.<br />
 
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen '''a''', '''b''' und der '''<span style="color: orange">waagrechten Asymptote</span>''' von <span style="color: blue">'''f'''</span> feststellen?<br />
 
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen '''a''', '''b''' und der '''<span style="color: orange">waagrechten Asymptote</span>''' von <span style="color: blue">'''f'''</span> feststellen?<br />
  
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Betrachte auch hier das Verhalten des Funktionsgraphen für x gegen <math>\red + \infty</math> oder <math>\red - \infty</math>, indem du die GeoGebra-Werkzeugleiste benutzt.<br />
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Betrachte auch hier das Verhalten des Funktionsgraphen für x gegen <math> + \infty</math> oder <math> - \infty</math>, indem du die GeoGebra-Werkzeugleiste benutzt.<br />
 
Wie lautet der '''<span style="color: orange">Grenzwert</span>''' von '''<span style="color: blue">f</span>''' ?</big>
 
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Die Funktion '''<span style="color: blue"><math>\blue f(x)=\frac{ax+b}{x}</math></span>''' nähert sich für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte immer mehr der '''<span style="color: orange">Gerade y = a</span>''' an.<br />
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Die Funktion '''<span style="color: blue"><math> f(x)=\frac{ax+b}{x}</math></span>''' nähert sich für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte immer mehr der '''<span style="color: orange">Gerade y = a</span>''' an.<br />
  
 
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Aktuelle Version vom 14. Juli 2014, 09:15 Uhr


Bearbeite parallel zum Lernpfad das Arbeitsblatt zum Thema "Grenzwerte im Unendlichen".

Will man anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf des Graphens machen, muss man auch wissen, wie sich die Funktion für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte verhält.
Anschaulich gesprochen: Man betrachtet den Funktionsgraphen am rechten und linken Bildrand.

Bei ganzrationalen Funktionen hast du in der 10. Klasse vier Fälle über den charakteristischen Verlauf einer Funktion kennen gelernt.


Auch mit dem Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen für immer größer werdende x- Werte hast du dich schon auseinandergesetzt.
Dieses Wissen wird jetzt noch weiter vertieft.


Hierfür ein Beispiel:
f(x)=\frac{4x-3}{x}
  1. Fülle die Wertetabelle vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst. Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig.
  2. Übertrage die berechneten Punkte in das GeoGebra-Applet und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen".
  3. Wie verhält sich der Graph von f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte?




  • Über die beiden Kontrollkästchen lässt sich der Graph der Funktion f und die Gerade, an die sich f annähert, anzeigen.
  • Mit dem letzten Symbol "Verschiebe Zeichenblatt" in der Werkzeugleiste kannst du dir die beiden Graphen auch über den eigentlichen Bildrand hinweg anschauen.
  • Unter dem gleichen Symbol lässt sich auch das Werkzeug "Vergrößere" auswählen.
    Sieh dir genau an, ob sich die beiden Graphen berühren!
  • Übertrage den Graphen der Funktion f, sowie die Gerade in das Koordinatensystem auf deinem Arbeitsblatt.


Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen, wobei es hier hilfreich ist, f als Differenz zu schreiben.
Halte die wichtigsten Ergebnisse dabei auf deinem Arbeitsblatt fest.

f (x) = \frac{4x-3}{x} = \frac{4x}{x} - \frac{3}{x} = 4 - \frac{3}{x}

Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch \frac{3}{x} immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.
Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an.


Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:

\lim_{x \to \infty}f (x)

sprich"Limes von f (x) für x gegen + \infty"

Durch den Limes von f (x) für x gegen - \infty
\lim_{x\rightarrow\ -\infty} f(x)

wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.


In unserem Beispiel können wir schreiben:

\lim_{x \to \infty}f (x) = \lim_{x \to \infty}\frac{4x-3}{x} = \lim_{x \to \infty}4 - \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x} = 4 - 0 = 4

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - \infty untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt:

\lim_{x \to \ -\infty}f (x) = \lim_{x \to \ -\infty}\frac{4x-3}{x} = \lim_{x \to \ -\infty}4 - \lim_{x \to \ -\infty}\frac{3}{x} = 4 + 0 = 4

Damit heißt 4 der Grenzwert der Funktion f für x gegen + \infty und gegen - \infty.


Allgemein

Im Applet siehst du die gebrochen rationale Funktion f(x)=\frac{ax+b}{x}.

Über die Schieberegler a und b lässt sich der Graph der Funktion verändern.
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen a, b und der waagrechten Asymptote von f feststellen?

Betrachte auch hier das Verhalten des Funktionsgraphen für x gegen + \infty oder - \infty, indem du die GeoGebra-Werkzeugleiste benutzt.
Wie lautet der Grenzwert von f ?




Im nächsten Applet ist die Funktion f(x) = a ∙ eb ∙ x + c abgebildet.
Welcher Zusammenhang besteht hier zwischen den drei veränderlichen Zahlen a, b und c und der waagrechten Asymptote von f ?



Fülle den Lückentext aus und übertrage die kontrollierten Antworten auf dein Arbeitsblatt.

Allgemein gilt:
Nähert sich der Graph einer Funktion f für immer größer werdende x-Werte einer Zahl G immer weiter an, so nennt man G den Grenzwert von f für x gegen + \infty:
In mathematischer Schreibweise: \lim_{x \to \infty}f (x) = G

Auf gleiche Weise definiert man den Grenzwert einer Funktion f für immer kleiner werdende x- Werte, also für x gegen - \infty, mit \lim_{x\rightarrow\ -\infty} f(x) = G

Die Gerade y = G ist dann eine waagrechte Asymptote für den Graphen von f.

Nähert sich eine Funktion f für immer größere x- Werte keiner festen Grenze an, sondern fällt bspw. gegen -\infty, so heißt f divergent und man schreibt:
\lim_{x\rightarrow\ +\infty} f(x) = -\infty.



Stimmt der Grenzwert einer Funktion für {x\rightarrow\ +\infty} mit dem Grenzwert für {x\rightarrow\ -\infty} überein, lassen sich beide Grenzwerte auch zusammenfassen, wie es in der folgenden Übung gemacht wurde.


Übung

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Grenzwert zu.
Wenn du einen Graphen anklickst, wird das Bild vergrößert.
Beachte dabei den Funktionsterm, der ebenfalls Rückschlüsse auf den Grenzwert liefert.



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Manipulationen an Funktionen

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