2 Quadratische Funktionen

 Quadratische Funktion Allgemein 

Was ist Quadratische Funktion? Die Quadratische Funktion ist eine ganz rationale Funktion zweiten Grades. Die Allgemeine Form der Quadratische Funktion lautet:

f(x) = a·x² + b·x + c.  

Man nennt es auch Polynomform. Man bezeichnet das quadratische Glied als ax², bx als das lineare Glied und c als das absolute Glied der Funktionsgleichung.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Symmetrieachse der Parabel ist parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet . (siehe Bild)

 Bei a > 0 nimmt die Parabel ihren minimalen Punkt und für a < 0 ihren maximalen Punkt an. Diese Punkte sind die Scheitelpunkte von Parabeln. 

Was sind Parameter?

Es gibt die Parameter a, b und c. Grundsätzlich gibt das Vorzeichen des Parameters a die Öffnungsrichtung der Parabel an. Ein positives Vorzeichen bedeutet eine Öffnung nach oben und ein negatives eine Öffnung nach unten (siehe Bild).   

Der Parameter a ist ebenfalls für die Stauchung oder Streckung der Parabel zuständig. Dies lässt sich am besten verdeutlichen, wenn die Parameter b und c null gesetzt werden. (siehe Bild)

Der Parameter b gibt die Steigung der Parabel in ihrem Schnittpunkt mit der y - Achse an. Mit dem Parameter b kann man eine Aussage darüber treffen, ob der schneidende Ast fallend bzw. steigend ist. Ist das Vorzeichen positiv, so ist die Steigung ebenfalls positiv und damit ein steigender Ast. Falls das Vorzeichen negativ ist, so bedeutet dies, dass die Steigung ebenfalls negativ ist und somit der Ast fallend.

Der Parameter c gibt die Verschiebung der gesamten Parabel in der y-Richtung an. Dabei ist der Parameter c eine Konstante.

Was ist ein Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt ist wichtig für die Position und stellt entweder die tiefsten oder höchsten Punkt da. (siehe Bild )

Was sind Nullstellunen ? Die Nullstellen jeder quadratischen Funktionen lassen sich berechnen, indem man die Gleichung null setzt und nach x auflöst. Mit Hilfe von der Abc-Formel lassen sich die Nullstellen relativ einfach berechnen. Die Abc-Formel lautet:

f (x) = ax² + bx + c / pq - Formel 0 = ax² + bx + c Durch einsetzen der drei Parameter errechnet man die Nullstellen. Falls der Ausdruck unter der Wurzel < 0 ist, so lässt sich die Wurzel nicht berechnen und die Parabel besitzt keine Nullstellen.

Was sind Achsenschnittpunkte?

Schnittpunkt mit der y - Achse Der Graph schneidet die y - Achse im Punkt Py. 

Für jeden Punkt, der auf der y - Achse liegt, ist die x - Koordinate Null. Schnittpunkt mit der x - Achse

Der Graph schneidet die x - Achse in den Punkten Px1 und Px2. Für jeden Punkt, der auf der x - Achse liegt, ist die y - Koordinate Null.  

Beispiel : f (x) = 1x² - 2x + 3 = F (x ) = 0

Die Parameter der Scheitelpunktform Beispiel : 0 = 1x² - 2x + 3

                    p     q
Es gibt eine bestimmte Schreibweise wo man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann. Man bezeichnet es auch als die Scheitelpunktform .
 Die Allgemeine Form ist : y = a *( x – xs)² +ys
Achtung: a kann positiv/negativ sein, b und c können positiv/negativ/Null sein! 

Wenn also z.b. a = 6, b = -4 und c = 8 ist, so sieht das Ganze dann so aus: y = 6 * x−(−4x−(−4)² + 8 = 6 * x+4x+4² + 8 Hier sieht man auch, wie aus der −4 dann am Ende eine +4 wurde:

Das Gute an dieser Form ist, dass man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann: b ist der x-Wert und c ist der y-Wert des Scheitelpunkts. 
A gibt an , ob die Parabel nach oben (+) nach unten (-) geöffnet ist, und ob sie gestreckt oder gestaucht ist. Der Wert a hat aber keinen Einfluss darauf, wo der Scheitelpunkt ist.
Wie man es oben im Beispiel sehen konnte, gibt es aber eine kleine Schwierigkeit was das b betrifft: Durch das Minus in der Klammer, wird immer das Vorzeichen umgedreht. Aus der −4 wurde dann am Ende eine +4. Wichtig ist, dass die −4 der eigentliche Wert für b ist. 

Wichtger Hinweis:Man muss immer darauf achten, dass man beim Ablesen die Vorzeichen für b wieder vertauscht. Aus Plus wird Minus und aus Minus wird Plus.