2 Quadratische Funktionen

 Quadratische Funktion Allgemein 

Was ist Quadratische Funktion? Die Quadratische Funktion ist eine ganz rationale Funktion zweiten Grades. Die Allgemeine Form der Quadratische Funktion lautet:

f(x) = a·x² + b·x + c.  

Man nennt es auch Polynomform. Man bezeichnet das quadratische Glied als ax², bx als das lineare Glied und c als das absolute Glied der Funktionsgleichung.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Die Symmetrieachse der Parabel ist parallel zur y-Achse ;
und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet . (siehe Bild)

Was ist ein Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt ist wichtig für die Position und stellt entweder die tiefsten oder höchsten Punkt dar. (siehe Bild )

Was sind Nullstellunen ? Die Nullstellen jeder quadratischen Funktionen lassen sich berechnen, indem man die Gleichung null setzt und nach x auflöst.

Mit Hilfe von der Abc-Formel lassen sich die Nullstellen relativ einfach berechnen. Die Abc-Formel lautet:

f (x) = ax² + bx + c / pq - Formel 0 = ax² + bx + c Durch einsetzen der drei Parameter errechnet man die Nullstellen. Falls der Ausdruck unter der Wurzel < 0 ist, so lässt sich die Wurzel nicht berechnen und die Parabel besitzt keine Nullstellen.

Was sind Achsenschnittpunkte?

Schnittpunkt mit der y - Achse Der Graph schneidet die y - Achse im Punkt Py. 

Für jeden Punkt, der auf der y - Achse liegt, ist die x - Koordinate Null. Schnittpunkt mit der x - Achse

Der Graph schneidet die x - Achse in den Punkten Px1 und Px2. Für jeden Punkt, der auf der x - Achse liegt, ist die y - Koordinate Null.  

Beispiel : f (x) = 1x² - 2x + 3 = F (x ) = 0

Die Parameter der Scheitelpunktform Beispiel : 0 = 1x² - 2x + 3

                    p     q
Es gibt eine bestimmte Schreibweise wo man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann. Man bezeichnet es auch als die Scheitelpunktform .
 Die Allgemeine Form ist : y = a *( x – xs)² +ys
Achtung: a kann positiv/negativ sein, b und c können positiv/negativ/Null sein! 

Wenn also z.b. a = 6, b = -4 und c = 8 ist, so sieht das Ganze dann so aus: y = 6 * x−(−4x−(−4)² + 8 = 6 * x+4x+4² + 8 Hier sieht man auch, wie aus der −4 dann am Ende eine +4 wurde:

Das Gute an dieser Form ist, dass man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann: b ist der x-Wert und c ist der y-Wert des Scheitelpunkts. 
A gibt an , ob die Parabel nach oben (+) nach unten (-) geöffnet ist, und ob sie gestreckt oder gestaucht ist.
Der Wert a hat aber keinen Einfluss darauf, wo der Scheitelpunkt ist.
Wie man es oben im Beispiel sehen konnte, gibt es aber eine kleine Schwierigkeit was das b betrifft: 

Durch das Minus in der Klammer, wird immer das Vorzeichen umgedreht. Aus der −4 wurde dann am Ende eine +4. Wichtig ist, dass die −4 der eigentliche Wert für b ist. Wichtger Hinweis:Man muss immer darauf achten, dass man beim Ablesen die Vorzeichen für b wieder vertauscht. Aus Plus wird Minus und aus Minus wird Plus.