Benutzer:Julia WWU3

Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

Aufgabe 3: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate $f(x) = -1/2*(x-1)^2+3$ a) Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt: In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt $P = (2|2,5)$ mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. 1) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. 2) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. Tipp zu 3a.2) anzeigen Tipp zu 3a.2) verstecken Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden. 3) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf $\frac {f(2)-f(x)} {2-x}$. Tipp zu 3a.3) zum Lückentext anzeigen Tipp zu 3a.3) zum Lückentext verstecken Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient $\lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}$ Lösung zu 1) anzeigen Lösung zu 1) verstecken Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995. Lösung zu 2) anzeigen Lösung zu 2) verstecken In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar. Lösung zu 3) anzeigen Lösung zu 3) verstecken Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten $\lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}$ dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an. b) (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. Tipp zur Abbildung anzeigen Tipp zur Abbildung verstecken Δx = x1-x0 1) Was gibt die Variable ks an? 2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus. Tipp zu b.2) Sekante anzeigen Tipp zu b.2) Sekante verstecken Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an. Tipp zu b.2) Tangente anzeigen Tipp zu b.2) Tangente verstecken Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt. Tipp zu b.2) anzeigen Tipp zu b.2) verstecken Lösung zu b.1) anzeigen Lösung zu b.1) verstecken ks gibt die Steigung der Sekante an. Lösung zu b.2) anzeigen Lösung zu b.2) verstecken 1) 3,25 2)1,3 3)Sekante 4)sinkt 5)die Steigung der Funktion im Punkt x0 6)dem Differentialquotienten 7)0,8