Punktsymmetrie zum Ursprung

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung: Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte. Was fällt dir auf? Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen? Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen. Um welche Funktion handelt es sich hier? Hilfe zu GeoGebra anzeigen Hilfe zu GeoGebra verstecken Auch für die Punktspiegelung gibt es ein Symbol in der Werkzeugleiste: "Spiegle Objekt an Punkt" Du kannst es unter dem Symbol für Achsenspiegelung auswählen. Zum Verbinden der Punkte wähle das Symbol "Freihandskizze erkennen" aus. Lösung anzeigen Lösung verstecken Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|-y): Die x- Koordinate und die y- Koordinate wird mit -1 multipliziert. Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f: x -> ½ x3.

Ist der Graph einer Funktion f                     ,

so besitzen                     x- Werte immer den                     Funktionswert mit                     Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)

Man kann aber auch vom                     auf den                     schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der                     für alle x ∈ D_f
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f                     .

Definitionsmenge D_funterschiedlichempunktsymmetrisch zum Ursprungpunktsymmetrisch zum UrsprungbetragsgleichenFunktionstermgleich weit vom Ursprung entfernteGraphen

Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft?

Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und
worauf es im Funktionsterm ankommt.

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Beispiele für zum Ursprung punktsymmetrische Funktionen sind: f (x) = -x5 + x3 g(x) = x15 - x9 + x7 + x3 - x h(x) = x7 + x p(x) = sin(x) Es dürfen nur ungerade Exponenten im Funktionsterm auftauchen, also x1, x3, x5, ... Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man ungerade Funktion. Auch das lässt sich rechnerisch erklären: Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten. Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss auch der ursprüngliche Funktionswert mit verkehrtem Vorzeichen herauskommen: Z. B.: f (x) = -x5 + x3 f (-x) = - (-x)5 + (-x)3 = +x5 - x3 = - ( -x5 + x3) = - f (x) Bereits ein gerader Exponent sorgt für ein falsches Vorzeichen. In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

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Manipulationen an Funktionen