Achsensymmetrie zur y- Achse

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse. Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte. Was fällt dir auf? Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen. Welche Funktion wird hier abgebildet? Hilfe zu GeoGebra anzeigen Hilfe zu GeoGebra verstecken Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen. Es gibt aber auch die Möglichkeit Objekte direkt zu spiegeln: Wähle das Symbol "Spiegle Objekt an Gerade" in der Werkzeugleiste aus. Klicke zuerst den Punkt an, den du spiegeln willst, und danach die Gerade, an der der Punkt gespiegelt werden soll. In der Werkzeugleiste kannst du unter dem Symbol "Text einfügen" das Symbol "Freihandskizze erkennen" auswählen. Damit lassen sich die einzelnen Punkte zu einem Graphen verbinden. Lösung anzeigen Lösung verstecken Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|y): Die x- Koordinate wird mit -1 multipliziert. Die y- Koordinate bleibt immer gleich. Die Funktion f hat also an jeder Stelle x und -x den gleichen Wert. Es handelt sich hier um die Funktion mit dem Funktionsterm f (x) = x2.

Allgemein Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse, so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert. Es gilt also: f (x) = f (-x) Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen: Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df f (x) = f (-x), dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse. Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen; also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird? Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen? Worauf kommt es im Funktionsterm an? Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion f(x) gegeben, die du verändern kannst. Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die dazugehörigen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen. Stelle die Parameter a, b, c, d, e so ein, dass f achsensymmetrisch zur y- Achse ist. Lösung anzeigen Lösung verstecken Beispiele wären die Funktionen f: x -> x2 + 1 g: x -> -x4 + 3 h: x -> x12 - 4x8 - 1 Alle Funktionen haben gemeinsam, dass im Funktionsterm nur x- Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen. Eine solche Funktion nennt man gerade Funktion. Woran liegt das? Antwort: Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein. Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: Z. B.: h: x -> x12 - 4x8 - 1 h(-x) = (-x)12 - 4 (-x)8 - 1 = (+x)12 - 4 (+x)8 - 1 = x12 - 4x8 - 1 = h(x) Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: Z. B.: k(x) = x12 - 4x9 - 1 k(-x) = (-x)12 - 4(-x)9 - 1 = (+x)12 - 4 (-x)9 - 1 = x12 + 4x9 - 1 ≠ k(x) Zurück zur Symmetrie von Funktionsgraphen Weiter zur Punktsymmetrie zum Ursprung Manipulationen an Funktionen