Punktsymmetrie zum Ursprung

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung: Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte. Was fällt dir auf? Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen? Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen. Um welche Funktion handelt es sich hier? Hilfe zu GeoGebra anzeigen Hilfe zu GeoGebra verstecken Auch für die Punktspiegelung gibt es ein Symbol in der Werkzeugleiste: "Spiegle Objekt an Punkt" Du kannst es unter dem Symbol für Achsenspiegelung auswählen. Zum Verbinden der Punkte wähle das Symbol "Freihandskizze erkennen" aus. Lösung anzeigen Lösung verstecken Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|-y): Die x- Koordinate und die y- Koordinate wird jeweils mit -1 multipliziert. Sind die x-Werte also gleich weit von der y- Achse entfernt, dann haben die Funktionswerte immer ein positives und ein negatives Vorzeichen. Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f: x -> ½ x3.

Allgemein Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung, so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen. Es gilt also: f (x) = - f (-x) Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen: Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df f (x) = - f (-x), dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung. Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen? Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt. Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter und damit den Funktionsterm und Graphen von f verändern. Stelle sie so ein, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. Lösung anzeigen Lösung verstecken Beispiele für zum Ursprung punktsymmetrische Funktionen sind: f (x) = -x5 + x3 g(x) = x15 - x9 + x7 + x3 - x h(x) = x7 + x p(x) = sin(x) Es dürfen nur ungerade Exponenten im Funktionsterm auftauchen, also x1, x3, x5, ... Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man ungerade Funktion. Auch das lässt sich rechnerisch erklären: Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten. Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen, ergeben: Z. B.: f (x) = -x5 + x3 f (-x) = - (-x)5 + (-x)3 = +x5 - x3 = - ( -x5 + x3) = - f (x) Bereits ein gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen. In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Übung Zurück zur Achsensymmetrie zur y- Achse Weiter zu den Grenzwerten im Unendlichen Manipulationen an Funktionen