Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. Aufgabe 1 bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen. In Aufgabe 2, 3 und 4 könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differentialquotienten üben. Aufgabe 5 geht einen Schritt weiter und beinhaltet einige Rechenaufgaben. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor. Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)

Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient

Aufgabe 1 Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient Tipp anzeigen Tipp verstecken Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt Lösung anzeigen Lösung verstecken Differenzenquotient Differenzialquotient die Steigung zwischen zwei Punkten A und B die Steigung im Punkt P die durchschnittliche Steigung die Ableitung an der Stelle $x_0$ die Sekante die Tangente durchschnittliche Änderungsrate momentane Änderungsrate $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ $f'(x_0)$

Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext

Sachkontextaufgabe Alkoholgehalt

Aufgabe 2 Alkoholgehalt

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Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.

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Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei $f(t)$ eine Funktion mit $t$ = Zeit in Stunden und $f(t)$ = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein $\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$. Da $f(t)$ nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da $t$ die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit $\frac{km}{h}$

Hier findest du die Lösungen:

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zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten $\frac {f(2) - f(0)}{2 h - 0 h} = \frac {0,55 mg/L - 0 mg/L}{2 h - 0 h} = 0,2665 \frac{mg}{L * h}$.

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall $[0,2]$.

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von $0,2665 \frac{mg}{L}$ pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( $\frac{mg}{L}$ pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.

Sachkontextaufgabe Besucherzahl im Bundestag

{{Aufgaben|4)| Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:

Uhrzeit	10.00	11.00	12.00	13.00	14.00	15.00	16.00	17.00	18.00
Besucherzahl	375	270	400	475	512	520	520	350	320

Aufgabe 4a)

Aufgabe 4b) Deine nächste Aufgabe ist mithilfe des Graphen ungefähr zu bestimmen in welchen Zeitintervallen die Besucherzahlen zu- sowie abnehmen. Notiere die Lösung auf einem Zettel. Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier: Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle. Vergleiche deine Lösung hier: Lösung anzeigen Lösung verstecken Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl ab. Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr. Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant. Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.

Aufgabe 4c) Schau dir die Tabelle und den Graphen noch einmal anschauen und achte dabei auf Besonderheiten. Was fällt dir besonders auf? Weiter stell Vermutungen auf, was mögliche Gründe für stärker und schwächer besuchte Uhrzeiten sind. Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier: Tipp anzeigen Tipp verstecken Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt. Vergleiche deine Lösung hier: Lösung anzeigen Lösung verstecken Lösungsvorschlag: Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen. Grüne dafür könnten sein, dass zu diesen Uhrzeiten Sonderführungen angeboten werden. Ebenfalls könnte ein Grund sein, dass zu diesen Zeiten der Deutsche Bundestag tagt und dieses ein besonderes Erlebnis für die Besucher sein könnte. Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren. An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

Sachkontextaufgabe Studenten und Geschwindigkeit

Schaue dir die vier Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen

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Für Frage 2 und 4 musst du den Differentialquotienten durch eine Näherung mithilfe des Differenzenquotienten abschätzen.

Aufgabe 4

Rechenbeispiel (Förderaufgabe)

Aufgabe 5: Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient Die Menge $M$ einer bestimmten Ware, die zum Preis $p$ verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: $M(p)=-250p^2+156250$. Je größere Werte die Funktion $M(p)$ annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten zu dieser Ware.

Aufgabe 5a) Bestimme mit Hilfe vom Differenzenquotienten, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt. Tipp anzeigen Tipp verstecken Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate". Lösung anzeigen Lösung verstecken Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: . Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch $x-x_0$ zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:\\ 1. Lücke: 11000 \\ 2. Lücke: 43750 \\ 3. Lücke: 5500 \\ 4. Lücke: 8750

Aufgabe 5b) Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis ist die Ware unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt. Tipp anzeigen Tipp verstecken Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden. Tipp anzeigen Tipp verstecken Die Ableitung ist gegeben durch: Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen? Lösung anzeigen Lösung verstecken 1. Lücke: 4000 \\ 2. Lücke: 7500 \\ 3. Lücke: 10000 \\ Die Ware ist unverkäuflich, wenn $M(p)=0$ gilt. Die Gleichung muss dann nach $p$ aufgelöst werden. Damit: \\ 4. Lücke: 25