Benutzer:Valentin WWU3

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• Seminar: Wikiprojekt zu dem Seminar "DiWerS
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Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo

Aufgabe 5 : Ein Tag im Zoo {{{2}}}

Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos (in 100 Personen) kann durch die Funktion b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5 näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.

Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Die Lösungen musst du per Hand ausrechnen und kannst sie anschließend mit diesen vergleichen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?

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Die Ableitung lautet: b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2

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Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also 0 = b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 , dann erhält man t_1 = 8 und t_2 = 16. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also t = 10) öffnet, ist t_2 die einzige Lösung.
Setzt man das in die Funktion ein erhält man: b(16) = 11,3 .
Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.

b) Wann ist die Besucherzahl am geringsten? Und warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?

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Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.

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Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.

c) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

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Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.

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Die zweite Ableitung lautet: b´´(t) = - 0,3 t + 3,6

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Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.

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Aufgabe 6: Die Autofahrt

Aufgabe 6 : Die Autofahrt Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1. Geschwindigkeitsprofil einer Urlaubsfahrt a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten. b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind? Lösung anzeigen Lösung verstecken Wenn der Graph fällt, sinkt somit die Geschwindigkeit. Also wird das Auto gebremst. Steigt der Graph, so steigt auch die Geschwindigkeit und der Fahrer beschleunigt. c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren? Schreibe die Lösung in dein Heft. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Beachte die Einheiten. Die Fahrtzeit ist in Minuten [min] angegeben und die Geschwindigkeit in Stundenkilometer/Kilometer pro Stunde [km/h]. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Wie lang ist die Zeit zwischen Minute 67 bis Minute 82? Rechne diese Differenz von Minuten [min] in Stunden [h] um. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken In dem Zeitraum liegen 15 Minuten, die entsprechen 1/4 Stunde. Wenn man 15 Minuten, also eine Viertelstunde, mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Wie viel Strecke hat man dann zurückgelegt? Lösung anzeigen Lösung verstecken Von Minute 67 bis Minute 82 ist eine Viertelstunde vergangen, in der die Familie 12,5 km zurückgelegt hat. d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? "Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft. Tipp anzeigen Tipp verstecken Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man wie in Aufgabe c) berechnen kann. (Zeit*Geschwindigkeit=Strecke) Lösung anzeigen Lösung verstecken Strecke AB (6 Minuten): 0,1 h * 30 km/h = 3 km Strecke CD (20 Minuten): 0,333 h * 50 km/h = 16,666 km Strecke EF (30 Minuten): 0,5 h * 100 km/h = 50 km Strecke GH (15 Minuten): 0,25 h * 50 km/h = 12,5 km (siehe c)) Strecke IJ (35 Minuten): 0,583 h * 100 km/h = 58,33 km Insgesamt also: 3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5 (Rundungsfehler sind hier möglich!) e) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig? Schreibe die Lösung in dein Heft. Tipp anzeigen Tipp verstecken Betrachte die vorherigen Aufgaben und ihre Ergebnisse noch einmal. Lösung anzeigen Lösung verstecken Wenn die Ableitung die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit angibt, dann gibt die Funktion die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit an. f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil d) kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise: Also: 140,5 km / 2 h = 70,25 km/h Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in d) ein anderes Ergebnis berechnet hast