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Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Schnittpunkt zweier Geraden)
 
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Den y-Achsenabschnitt kannst du in der Tabelle bei x=0 ablesen. Bei f(x) ist dies das Wertepaar (0/1), weshalb n=1 ist. Die Steigung kannst du ablesen, indem du beispielsweise die Differenz der y-Werte der Punkte (0/1) und (1/3) bestimmst. Man sieht schnell, dass der y-Wert immer um 2 nach oben geht, wenn x um eine Einheit steigt.<br/>
 
Den y-Achsenabschnitt kannst du in der Tabelle bei x=0 ablesen. Bei f(x) ist dies das Wertepaar (0/1), weshalb n=1 ist. Die Steigung kannst du ablesen, indem du beispielsweise die Differenz der y-Werte der Punkte (0/1) und (1/3) bestimmst. Man sieht schnell, dass der y-Wert immer um 2 nach oben geht, wenn x um eine Einheit steigt.<br/>
 
Bei g(x) musst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Man sieht leicht, dass sich der y-Wert immer um 1,5 erhöht, wenn x um eine Einheit steigt. Deshalb kann man vom Wertepaar (1/4) ausgehend den y-Achsenabschnitt berechnen, indem man 4-1,5 rechnet.<br/>
 
Bei g(x) musst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Man sieht leicht, dass sich der y-Wert immer um 1,5 erhöht, wenn x um eine Einheit steigt. Deshalb kann man vom Wertepaar (1/4) ausgehend den y-Achsenabschnitt berechnen, indem man 4-1,5 rechnet.<br/>
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Alternativ kannst du die Aufgabe auch grafisch lösen, indem du beispielsweise bei f(x) die Punkte (-1/-1), (0/1) und (1/3) in ein Koordinatensystem einträgst, zu einer Geraden verbindest und das Steigungsdreieck einzeichnest.<br/> [[Datei:Aufgabe 3 Bild 1.PNG|links|500px]]
+
Alternativ kannst du die Aufgabe auch grafisch lösen, indem du beispielsweise bei f(x) die Punkte (-1/-1), (0/1) und (1/3) in ein Koordinatensystem einträgst, zu einer Geraden verbindest und das Steigungsdreieck einzeichnest.<br/> [[Datei:Aufgabe 3 Bild 1.PNG|links|rahmenlos|500px]]
 
</popup>}}
 
</popup>}}
 
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<popup Name="Tipp 1">Für den rechnerischen Weg: Gesucht ist ein Punkt (x/y), der gleichzeitig beide Funktionsvorschriften erfüllt.</popup>
 
<popup Name="Tipp 1">Für den rechnerischen Weg: Gesucht ist ein Punkt (x/y), der gleichzeitig beide Funktionsvorschriften erfüllt.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Um diesen Punkt zu finden, kann man zum Beispiel beide Funktionsvorschriften gleichsetzen.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Um diesen Punkt zu finden, kann man zum Beispiel beide Funktionsvorschriften gleichsetzen.</popup>
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<popup Name="Lösung"> a) <math> -0,5x+2,5=4x-11 |+0,5x, +11<br\>
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<popup Name="Lösung"> a) <math> -0,5x+2,5=4x-11 </math> Rechne beidseits +11 und +0,5x. <br\>
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13,5=4,5x |:4,5 <br\>
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<math>13,5=4,5x </math> Teilen durch 4,5 liefert <br\>
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3=x </math>
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<math>3=x </math>
 
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[[Datei:Schnittpunkt zweier Funktionen zeichnerisch bestimmen.png|links|500px]][[Datei:Schnittpunkt 2.PNG|links|500px|f(x)=0,5x und g(x)=x-1,5]]</popup>}}
+
Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in g(x) liefert:<br\>
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<math>y=4*3-11=1 </math><br\>
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Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1).<br\>
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Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1) ablesen:
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[[Datei:Schnittpunkt zweier Funktionen zeichnerisch bestimmen.png|links|500px]]<br\>
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b) <math> 0,5x=x-1,5 </math> Rechne beidseits -x. <br\>
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<math>-0,5x=-1,5 </math> Teilen durch -0,5 liefert <br\>
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<math>3=x </math>
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Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in f(x) liefert:<br\>
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<math>y=0,5*3=1,5 </math><br\>
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Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1,5).<br\>
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Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1,5) ablesen:
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[[Datei:Schnittpunkt 2.PNG|links|500px|f(x)=0,5x und g(x)=x-1,5]]</popup>}}
 
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==Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte==
 
==Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte==
−
{{Aufgaben|5|Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktion, die jeweils durch die angegebenen Punkte verläuft. Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen und bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen. Notiere deine Rechnung und Antwort in deinem Heft.
+
{{Aufgaben|5|Betrachte die drei Geraden f,g und h, die jeweils durch die angegebenen Punkte verlaufen.
 +
 
 +
'''1)''' Gerade f verläuft durch <math>P(-2|1)</math> und <math>Q(3|6)</math>.
  
−
'''a)''' <math>P(-2|1)</math> und <math>Q(3|6)</math>
+
'''2)''' Gerade g durch <math>P(3|-4)</math> und <math>Q(5|-1)</math>.
  
−
'''b)''' <math>P(3|-4)</math> und <math>Q(5|-1)</math>
+
'''3)''' Gerade h durch <math>P(2|12)</math> und <math>Q(0|2)</math>.
  
−
'''c)''' <math>P(2|12)</math> und <math>Q(0|2)</math>
+
Notiere die Rechnungen und Antworten der folgenden Aufgaben in deinem Heft: <br\>
 +
a) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen. <br\>
 +
b) Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen. <br\>
 +
c) Bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen. <br\>
 +
d) Warum ist eine lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte eindeutig bestimmt? <br\>
  
 
<popup Name="Tipp 1">Nutze den Differenzenquotienten um die Steigung zu berechnen.</popup>
 
<popup Name="Tipp 1">Nutze den Differenzenquotienten um die Steigung zu berechnen.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Differenzenquotient: <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Differenzenquotient: <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</popup>
 
<popup Name="Tipp 3">Um n zu berechnen, setze einen Punkt in die Funktionsgleichung ein.</popup>
 
<popup Name="Tipp 3">Um n zu berechnen, setze einen Punkt in die Funktionsgleichung ein.</popup>
 +
<popup Name="Tipp 4">Für die Nullstelle überlege dir, welche y-Koordinate Nullstellen haben.</popup>
 +
<popup Name="Tipp 5">Für die Nullstelle setze die Funktionsgleichung gleich 0.</popup>
 +
<popup Name="Tipp 6">Bei Teilaufgabe c) soll y=12 sein.</popup>
  
 
<popup Name="Lösung">{|
 
<popup Name="Lösung">{|
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|-
 
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−
|'''a)'''
+
|'''1)'''
 
| <math>f(x)=x+3</math>
 
| <math>f(x)=x+3</math>
 
| Nullstelle: <math>x=-3</math>
 
| Nullstelle: <math>x=-3</math>
 
| an der Stelle <math>x=9</math>
 
| an der Stelle <math>x=9</math>
 
|-
 
|-
−
|'''b)'''
+
|'''2)'''
 
| <math>f(x)=\frac{3}{2}x-8,5</math>
 
| <math>f(x)=\frac{3}{2}x-8,5</math>
 
| Nullstelle: <math>x=5\frac{2}{3}</math>
 
| Nullstelle: <math>x=5\frac{2}{3}</math>
 
| an der Stelle <math>x=13\frac{2}{3}</math>
 
| an der Stelle <math>x=13\frac{2}{3}</math>
 
|-
 
|-
−
|'''c)'''
+
|'''3)'''
 
| <math>f(x)=5x+2</math>
 
| <math>f(x)=5x+2</math>
 
| Nullstelle: <math>x=-0,4</math>
 
| Nullstelle: <math>x=-0,4</math>
 
| an der Stelle <math>x=2</math>
 
| an der Stelle <math>x=2</math>
−
|}</popup>
+
|}
 +
 
 +
Ausführliche Lösung: <br\>
 +
a) 1) Steigung: <math> m=\frac{6-1}{3-(-2)}=\frac{5}{5}=1</math> <br\>
 +
Für n setzen wir den Punkt Q in <math>f(x)= 1*x + n </math> ein und erhalten: <math> 6=3+n </math> und somit ist <math>n=3</math>. <br\>
 +
--> f(x)= x+3 <br\>
 +
<br\>
 +
2) Steigung: <math> m=\frac{-1-(-4)}{5-3}=\frac{3}{2}</math>  <br\>
 +
n berechnen: Einsetzen von P in <math> g(x)= \frac{3}{2}*x + n </math> führt zu <br\>
 +
<math>  -4=\frac{3}{2}*3+n </math> <br\>
 +
<math>  -4=4,5+n </math> <br\>
 +
<math>  -9,5=n </math> <br\>
 +
--> g(x)=1,5x-9,5 <br\>
 +
<br\>
 +
3) Steigung: <math> m= \frac{12-2}{2-0}=\frac{10}{2}=5 </math>  <br\>
 +
n berechnen: Einsetzen von Q in <math>h(x)= 5*x + n </math> führt zu <br\>
 +
<math>  2=5*0+n </math> <br\>
 +
<math>  2=n </math> <br\>
 +
--> h(x)=5x+2<br\>
 +
<br\>
 +
<br\>
 +
<br\>
 +
b) 1) <math>f(x)=0 </math> <br\>
 +
<math> x+3=0 </math><br\>
 +
<math> x=-3 </math><br\>
 +
<br\>
 +
2) <math> g(x)=0 </math><br\>
 +
<math> 1,5x-9,5=0 </math><br\>
 +
<math>1,5x=9,5</math><br\>
 +
<math>x=5\frac{2}{3}</math><br\>
 +
<br\>
 +
3) <math>h(x)=0</math><br\>
 +
<math>5x+2=0</math><br\>
 +
<math>5x=-2</math><br\>
 +
<math>x=-0,4</math><br\>
 +
<br\>
 +
<br\><br\>
 +
c) 1)<math>f(x)=12 </math><br\>
 +
<math> x+3=12 </math><br\>
 +
<math> x=9 </math><br\>
 +
<br\>
 +
2)<math> g(x)=12 </math><br\>
 +
<math> 1,5x-9,5=12 </math><br\>
 +
<math>1,5x=21,5</math><br\>
 +
<math>x=13\frac{2}{3}</math><br\>
 +
<br\>
 +
3) <math>h(x)=12</math><br\>
 +
<math>5x+2=12</math><br\>
 +
<math>5x=10</math><br\>
 +
<math>x=2</math><br\>
 +
<br\>
 +
<br\>
 +
d) Weil sie überall die gleiche Steigung hat, welche wir mit dem Differenzenquotienten bestimmt haben.
 +
</popup>
 
}}<br\><br\>
 
}}<br\><br\>
  
 
==Textaufgaben==
 
==Textaufgaben==
−
{{Aufgaben|6|Eine 15cm lange Kerze braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab.
+
{{Aufgaben|6|Eine 15cm lange Kerze A braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze B ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab.
  
−
'''a)''' Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf und zeichne einen Graphen.
+
'''a)''' Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf, mit der man die Kerzenhöhe nach x Stunden berechnen kann und zeichne einen Graphen.
 
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her, mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst.</popup>
 
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her, mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst.</popup>
−
 
+
'''b)'''Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden?
−
'''b)''' Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie viele Stunden sind die Kerzen gleich hoch?<br \>
+
<popup Name="Tipp">Setze in beiden Gleichungen den Gesuchten x-Wert ein.</popup>
 +
'''c)''' Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie vielen Stunden sind die Kerzen gleich hoch?<br \>
 
Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle. <br \>
 
Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle. <br \>
−
Vergleiche die drei Methoden und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben.
+
 
 
<popup Name="Tipp 1">Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich.</popup>
 
<popup Name="Tipp 1">Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Wertetabelle: Erstelle zwei Wertetabellen und lies den x-Wert ab, an dem die beiden Kerzen den gleichen y-Wert (Kerzenhöhe) haben.</popup>
 
<popup Name="Tipp 2">Wertetabelle: Erstelle zwei Wertetabellen und lies den x-Wert ab, an dem die beiden Kerzen den gleichen y-Wert (Kerzenhöhe) haben.</popup>
−
'''c)'''Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden?
+
'''d)''' Vergleiche die drei Methoden, aus dem Aufgabenteil c) und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben.
−
<popup Name="Tipp">Setze in beiden Gleichungen den Gesuchten x-Wert ein.</popup>
+
  
  
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<popup Name="Lösung">{|
 
<popup Name="Lösung">{|
  
−
'''a)''' Kerze A: <math>f(x)=-1,5x+15</math> <br/> Kerze B: <math>g(x)=-2,5x+20</math>
+
'''a)''' Kerze A: <math>f(x)=-1,5x+15</math> <br/> Kerze B: <math>g(x)=-2,5x+20</math><br/>
−
[[Datei:Kerzen.PNG|thumb]]
+
Möglicher Lösungsweg zum Aufstellen der Gleichung am Beispiel Kerze A (Für Kerze B erfolgt der Rechenweg analog.)<br/>
 +
Wir entnehmen dem Text, dass die Kerze am Anfang 15 cm hoch ist. Daraus können wir folgern, dass zum Zeitpunkt x=0 der Funktionswert bei 15 liegen muss. Dadurch erhalten wir auch den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit unser n. <br/>
 +
Weiterhin wissen wir, das die Kerze Nach 10 Stunden komplett abgebrannt ist. Daraus folgern wir, dass bei x=10 der Funktionswert 0 ist. Mit den beiden Punkten (0/15) und (10/0) können wir eine Gerade in dem Koordinatensystem zeichnen und können dann so die Steigung ablesen. Alternativ berechnen wir mit den beiden Werten das Steigungsdreieck und damit die Steigung.
 +
[[Datei:Kerzen.PNG|rahmenlos|left|500px]]<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
  
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'''b)''' <math>f(x)=g(x) </math> <br/> <math>-1,5x+15=-2,5x+20 </math> <br/> <math>x=5 </math> 
+
'''b)''' Kerze A: f(3)= -1,5*3+15=10,5cm ; Kerze B: g(3)=-2,5*3+20=12,5cm<br/>
−
Nach 5 Stunden sind sie gleich lang.
+
−
[[Datei:Kerzen Wertetabellen.PNG|thumb]]
+
  
−
'''c)''' Kerze A: f(3)=10,5cm ; Kerze B: g(3)=12,5cm</popup>
+
'''c)''' <math>f(x)=g(x) </math> <br/> <math>-1,5x+15=-2,5x+20 </math> <br/> <math>x=5 </math>  <br/>
 +
Nach 5 Stunden sind sie gleich lang.
 +
[[Datei:Kerzen Wertetabellen.PNG|rahmenlos|left]]<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
 +
'''d)''' '''Zeichnerische Lösung''' <br/>
 +
Vorteile:<br/>
 +
Durch die Linearität braucht man von beiden Kerzen nur jeweils zwei Punkte einzeichnen und kann diese mit dem Lineal weiterziehen, auf diese Weise sieht man schnell den Schnittpunkt der beiden Linien.<br/>
 +
Nachteile:<br/>
 +
Wenn man ungenau zeichnet kann bekommt man eine Falsche Lösung.<br/>
 +
Wenn der Maßstab ungeschickt gewählt wurde, kann man die Lösung nicht genau ablesen.<br/>
 +
<br/>
 +
'''Rechnerische Lösung'''<br/>
 +
Vorteile:<br/>
 +
Man bekommt eine exakte Lösung</br>
 +
Man berechnet keine "unwichtigen" Werte. <br/>
 +
Nachteile: <br/>
 +
Wenn man unsicher beim Umstellen von Gleichungen ist, ist diese Variante auch sehr fehleranfällig. <br/>
 +
Im Gegensatz zur zeichnerischen Lösung ist die rechnerische nicht ganz so "ansehnlich".<br/>
 +
<br/>
 +
'''Wertetabelle'''<br/>
 +
Vorteile:<br/>
 +
Nicht so sehr fehleranfällig wie die anderen beiden Lösungswege.<br/>
 +
Nachteile:<br/>
 +
Wenn man Pech hat, berechnet man viele Werte, die man nicht braucht, bevor man die richtige Lösung findet. <br/>
 +
Falls man bei den x-Werten zu große Schritte wählt, kann es passieren, dass man die richtige Lösung überspringt und somit keine Lösung findet.<br/>
 +
</popup>
 
}}
 
}}
 
<br\>
 
<br\>
 
{{Aufgaben|7|Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm
 
{{Aufgaben|7|Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm
  
−
'''a)''' Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an.
+
'''a)''' Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion?<br/>
 +
'''b)''' Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an.
 
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her und stelle die Funktionsgleichung auf</popup>
 
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her und stelle die Funktionsgleichung auf</popup>
  
−
'''b)''' Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist.
+
'''c)''' Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist.
 
<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich null.</popup>
 
<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich null.</popup>
  
−
'''c)''' Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm?
+
'''d)''' Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm?
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<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich 51 und löse nach x auf.</popup>
+
<popup Name="Tipp 1">Überlege dir, ob die Wasserhöhe ein x-Wert oder ein y-Wert ist.</popup>
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<popup Name="Tipp 2">Setze die Funktionsgleichung gleich 51 und löse nach x auf.</popup>
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'''e)''' Schau dir die Aufgabenteile c) und d) nochmal genauer an. Kannst du dein Vorgehen begründen?
  
  
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|'''a)'''
 
|'''a)'''
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| <math> -\frac{4}{3}x+83</math>
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| Der Satzbaustein "gleichmäßig abgelassen" signalisiert uns, dass es linear ist (Zu jedem Zeitpunkt verlieren wir die gleiche Menge an Wasser, die "Steigung" ist also überall gleich.
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|[[Datei:Regentonne.PNG|thumb|Textaufgabe lineare Funktionen]]
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|'''b)'''
 
|'''b)'''
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| <math> -\frac{4}{3}x+83=0</math>
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| <math> f(x)=-\frac{4}{3}x+83</math>
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<br\> <math> x=62,25</math>
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[[Datei:Regentonne.PNG|rahmenlos|left|500px]]
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<br\> Nach 62 Minuten und 15 Sekunden ist das Wasser vollständig abgelaufen.
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|'''c)'''
 
|'''c)'''
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| <math> -\frac{4}{3}x+83=51</math>
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|Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b gleich 0.<br/>
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<math> -\frac{4}{3}x+83=0</math>
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<br\> Anschließend Stellen wir die Funktion nach X um. <br/><math> x=62,25</math>
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<br\> Nach 62 Minuten und 15 Sekunden ist das Wasser vollständig abgelaufen.
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|'''d)'''
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| Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b) gleich 51.<br/>
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<math> -\frac{4}{3}x+83=51</math><br/>
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Anschließend stellen wir die Funktion nach x um.
 
<br\> <math> x=24</math>
 
<br\> <math> x=24</math>
 
<br\> Nach 24 Minuten ist ein Wasserstand von 51 cm erreicht.
 
<br\> Nach 24 Minuten ist ein Wasserstand von 51 cm erreicht.
 
|}</popup>}}
 
|}</popup>}}
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 01:03 Uhr

In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen vertiefen und dieses anwenden. In Aufgabe 1-5 wiederholst du dabei noch einmal, wie lineare Funktionsgleichungen aufgestellt werden und wie man einen Graphen skizziert. Außerdem kannst du dich in Aufgabe 3 noch einmal mit Wertetabellen zu linearen Zuordnungen beschäftigen. Die Aufgaben 6 und 7 bieten dir die Möglichkeit, das Gelernte im Sachkontext anzuwenden.



Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktionen im Überblick

Stift.gif   Aufgabe 1

Fülle folgenden Lückentext aus, indem du auf die leeren Felder klickst und die richtige Antwort auswählst



Vom Graphen zur Funktionsgleichung

Stift.gif   Aufgabe 2

Ordne den folgenden Graphen die entsprechenden Funktionsgleichungen zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander legst.



Wertetabellen und lineare Funktionen

Stift.gif   Aufgabe 3

Bestimme anhand der Tabellen die zugehörigen Funktionsgleichungen und tippe sie in die grauen Felder ein.



Schnittpunkt zweier Geraden

Stift.gif   Aufgabe 4

Bestimme die Schnittpunkte von zwei Geraden zuerst zeichnerisch und dann rechnerisch in deinem Heft.

a) f(x)=-0,5x+2,5 und g(x)=4x-11

b) f(x)=0,5x und g(x)=x-1,5



Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte

Stift.gif   Aufgabe 5

Betrachte die drei Geraden f,g und h, die jeweils durch die angegebenen Punkte verlaufen.

1) Gerade f verläuft durch P(-2|1) und Q(3|6).

2) Gerade g durch P(3|-4) und Q(5|-1).

3) Gerade h durch P(2|12) und Q(0|2).

Notiere die Rechnungen und Antworten der folgenden Aufgaben in deinem Heft:
a) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen.
b) Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen.
c) Bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen.
d) Warum ist eine lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte eindeutig bestimmt?



Textaufgaben

Stift.gif   Aufgabe 6

Eine 15cm lange Kerze A braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze B ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab.

a) Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf, mit der man die Kerzenhöhe nach x Stunden berechnen kann und zeichne einen Graphen.

b)Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden?

c) Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie vielen Stunden sind die Kerzen gleich hoch?
Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle.

d) Vergleiche die drei Methoden, aus dem Aufgabenteil c) und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben.



Stift.gif   Aufgabe 7

Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm

a) Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion?
b) Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an.

c) Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist.

d) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm?

e) Schau dir die Aufgabenteile c) und d) nochmal genauer an. Kannst du dein Vorgehen begründen?


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