Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Den y-Achsenabschnitt kannst du in der Tabelle bei x=0 ablesen. Bei f(x) ist dies das Wertepaar (0/1), weshalb n=1 ist. Die Steigung kannst du ablesen, indem du beispielsweise die Differenz der y-Werte der Punkte (0/1) und (1/3) bestimmst. Man sieht schnell, dass der y-Wert immer um 2 nach oben geht, wenn x um eine Einheit steigt.
Bei g(x) musst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Man sieht leicht, dass sich der y-Wert immer um 1,5 erhöht, wenn x um eine Einheit steigt. Deshalb kann man vom Wertepaar (1/4) ausgehend den y-Achsenabschnitt berechnen, indem man 4-1,5 rechnet.

Teilen durch 4,5 liefert

Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in g(x) liefert:

Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1).
Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1) ablesen:

b) Rechne beidseits -x.
Teilen durch -0,5 liefert

Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in f(x) liefert:

Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1,5).
Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1,5) ablesen:

1)		Nullstelle:	an der Stelle
2)		Nullstelle:	an der Stelle
3)		Nullstelle:	an der Stelle

Ausführliche Lösung:
a) 1) Steigung:
Für n setzen wir den Punkt Q in ein und erhalten: und somit ist .
--> f(x)= x+3

2) Steigung:
n berechnen: Einsetzen von P in führt zu



--> g(x)=1,5x-9,5

3) Steigung:
n berechnen: Einsetzen von Q in führt zu


--> h(x)=5x+2



b) 1)



2)




3)






c) 1)



2)




3)





d) Weil sie überall die gleiche Steigung hat, welche wir mit dem Differenzenquotienten bestimmt haben.

a) Kerze A:
Kerze B:
Möglicher Lösungsweg zum Aufstellen der Gleichung am Beispiel Kerze A (Für Kerze B erfolgt der Rechenweg analog.)
Wir entnehmen dem Text, dass die Kerze am Anfang 15 cm hoch ist. Daraus können wir folgern, dass zum Zeitpunkt x=0 der Funktionswert bei 15 liegen muss. Dadurch erhalten wir auch den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit unser n.
Weiterhin wissen wir, das die Kerze Nach 10 Stunden komplett abgebrannt ist. Daraus folgern wir, dass bei x=10 der Funktionswert 0 ist. Mit den beiden Punkten (0/15) und (10/0) können wir eine Gerade in dem Koordinatensystem zeichnen und können dann so die Steigung ablesen. Alternativ berechnen wir mit den beiden Werten das Steigungsdreieck und damit die Steigung.

b) Kerze A: f(3)= -1,5*3+15=10,5cm ; Kerze B: g(3)=-2,5*3+20=12,5cm

c)


Nach 5 Stunden sind sie gleich lang.

d) Zeichnerische Lösung
Vorteile:
Durch die Linearität braucht man von beiden Kerzen nur jeweils zwei Punkte einzeichnen und kann diese mit dem Lineal weiterziehen, auf diese Weise sieht man schnell den Schnittpunkt der beiden Linien.
Nachteile:
Wenn man ungenau zeichnet kann bekommt man eine Falsche Lösung.
Wenn der Maßstab ungeschickt gewählt wurde, kann man die Lösung nicht genau ablesen.

Rechnerische Lösung
Vorteile:
Man bekommt eine exakte Lösung</br> Man berechnet keine "unwichtigen" Werte.
Nachteile:
Wenn man unsicher beim Umstellen von Gleichungen ist, ist diese Variante auch sehr fehleranfällig.
Im Gegensatz zur zeichnerischen Lösung ist die rechnerische nicht ganz so "ansehnlich".

Wertetabelle
Vorteile:
Nicht so sehr fehleranfällig wie die anderen beiden Lösungswege.
Nachteile:
Wenn man Pech hat, berechnet man viele Werte, die man nicht braucht, bevor man die richtige Lösung findet.
Falls man bei den x-Werten zu große Schritte wählt, kann es passieren, dass man die richtige Lösung überspringt und somit keine Lösung findet.