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Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
 
<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
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In diesem Lernpfad geht es um das Wiederhohlen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Matematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.
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In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.
  
 
Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.
 
Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.
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{{Aufgaben|1: "Flächeninhalt"|
 
{{Aufgaben|1: "Flächeninhalt"|
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Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben
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Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxj3hfqot18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxj3hfqot18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<popup name="Tipp 1">Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben</popup>
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<popup name="Tipp 1">Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?</popup>
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<popup name="Tipp 2">Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt</popup>
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<popup name="Tipp 2">Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.</popup>
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<popup name="Tipp 3">Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.</popup>}}
  
  
 
{{Aufgaben|2: "Kerze"|
 
{{Aufgaben|2: "Kerze"|
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Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Stelle einen Term auf, mitdem du die Höhe der Kerze zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen kannst.}}
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Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe deer Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.
  
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<popup name="Tipp 1">Die allgemeine Geradengleichung lautet <math>y=n*x+m</math>, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?</popup>
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1.) <math> f(x)=3,5x+15</math>
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2.)<math>f(x)=15x-3,5</math>
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3.)<math> f(x)=-3,5x+15</math>
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4.) <math>f(x)=-15x+3,5</math>
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Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.
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<popup name="Tipp 1">Die allgemeine Geradengleichung lautet <math>y=m*x+n</math>, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang?</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor?</popup>
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<popup name="Lösung"><math>y=15-3.5x</math> , wobei y die Höhe in cm und x die Zeit in Stunden ist</popup>
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<popup name="Lösung 1"><math>f(x)=-3,5x+15</math>, wobei <math>f(x)</math> die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt und <math>x</math> die Zeit in Stunden ist. Zum Zeitpunkt <math>x=0</math> ist die Kerze 15 cm hoch (<math>m=15</math>) und wird pro Stunde 3,5 cm kleiner (<math>n=-3,5</math>).
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</popup>
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<popup name="Lösung 2">Nach 3 Stunden ist die Kerze noch <math>15-3*3.5=4.5</math> cm hoch.
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Nach 7 Sunden ergibt sich <math>15-7*3.5=-9.5</math> cm. Die Kerze ist daher schon vor Ende der 7 Stunden abgebrannt.</popup>}}
  
  
 
{{Aufgaben|3: "Krankenhaus"|
 
{{Aufgaben|3: "Krankenhaus"|
−
Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 100 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 40 ml durch den Tropf. Um die restlichen 60 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen wird die Tropfgeschwindigkeit auf 15 ml pro Stunde erhöht.  
+
Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden.
−
Stelle einen Term für das Volumen der bereits verabreichten Infusionslösung ab 4 Stunden auf.}}
+
Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert.  
 +
Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.
  
−
<popup name="Tipp 1">Welche der gegebenen Werte entspricht der Steigung und dem Startwert?</popup>
+
<popup name="Tipp 1">Welche der gegebenen Werte entsprechen der Steigung und dem Startwert?</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?</popup>
+
<popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?</popup>
−
<popup name="Lösung"><math>y=15(x-4)+40</math></popup>
+
<popup name="Tipp 3">Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.
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[[Datei:Krankenhaus Graph.png|ohne|500px]]</popup>
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<popup name="Lösung"><math>y=50(x-4)+300</math></popup>}}
  
  
 
== Terme zusammenfassen ==
 
== Terme zusammenfassen ==
  
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{{Aufgaben|1: "Terme mit einer Variablen"|
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{{Aufgaben|4: "Terme mit einer Variablen"|
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Fasse die Terme zusammen
+
Fasse die Terme zusammen.
  
 
a) <math>3x+5x</math>
 
a) <math>3x+5x</math>
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b) <math>15y-6y</math>
 
b) <math>15y-6y</math>
  
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c) <math>11x+x</math>}}
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c) <math>11x+x</math>
  
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<popup name="Tipp 1">Um bei Addition/Subtraktion zusammenzufassen, ignoriere die Variable zunächst. ''Beispiel:'' Um <math>2x+7x</math> zu berechnen, rechne <math>2+7=9</math> und erhalte insgesamt <math>2x+7x=9x</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. ''Beispiel:'' <math>2x+7x=(2+7) \cdot x=9x</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Der Vorfaktor <math>1</math> wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um <math>1</math>.</popup>
+
<popup name="Tipp 2">zu c): Der Vorfaktor <math>1</math> wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um <math>1</math>.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>8x</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>8x</math>
  
 
b) <math>9y</math>
 
b) <math>9y</math>
  
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c) <math>12x</math></popup>
+
c) <math>12x</math></popup>}}
  
  
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{{Aufgaben|2: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"|
+
{{Aufgaben|5: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"|
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Fasse die Terme zusammen
+
Fasse die Terme zusammen.
  
 
a) <math>2x+10x+11+7</math>
 
a) <math>2x+10x+11+7</math>
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b) <math>7x+17+5x+2</math>
 
b) <math>7x+17+5x+2</math>
  
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c) <math>-4x+5+9x-7</math>}}
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c) <math>-4x+5+9x-7</math>
  
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<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>3+2x+11+7x=2x+7x+11+3</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>3+2x+11+7x=2x+7x+3+11</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Fasse alle Konstanten zusammen. ''Beispiel:'' <math>2x+14+5=2x+19</math></popup>
+
<popup name="Tipp 2">Fasse alle Konstanten zusammen. ''Beispiel:'' <math>2x+14+5=2x+19</math>.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>12x+18</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>12x+18</math>
  
 
b) <math>12x+19</math>
 
b) <math>12x+19</math>
  
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c) <math>5x-2</math></popup>
+
c) <math>5x-2</math></popup>}}
  
  
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{{Aufgaben|3: "Terme mit zwei Variablen"|
+
{{Aufgaben|6: "Terme mit zwei Variablen"|
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Fasse die Terme zusammen
+
Fasse die Terme zusammen.
  
 
a) <math>3x+5x+7y-2y</math>
 
a) <math>3x+5x+7y-2y</math>
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b) <math>-2x+15-4y-3x-5</math>
 
b) <math>-2x+15-4y-3x-5</math>
  
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c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math>}}
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c) <math>-9+y+2x+12x-7y</math>
  
−
<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>2x+13y+7x=2x+7x+13y</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. ''Beispiel:'' <math>2x+13y+7x=2x+7x+13y</math>. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion <math>a-b</math> kann zudem in eine Addition umgeformt werden <math>a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a</math>.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. ''Beispiel:'' <math>2x+7x+13y=9x+13y</math></popup>
+
<popup name="Tipp 2">Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. ''Beispiel:'' <math>2x+7x+13y=9x+13y</math>. Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>8x+5y</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>8x+5y</math>
  
 
b) <math>-5x-4y+10</math>
 
b) <math>-5x-4y+10</math>
  
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c) <math>14x-6y-9</math></popup>
+
c) <math>14x-6y-9</math></popup>}}
  
  
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{{Aufgaben|4: "Terme mit Variablen und Exponenten"|
+
{{Aufgaben|7: "Terme mit Variablen und Exponenten"|
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Fasse die Terme zusammen
+
Fasse die Terme zusammen.
  
 
a) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>
 
a) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>
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b) <math>9x+4x^2+4x-2x^2</math>
 
b) <math>9x+4x^2+4x-2x^2</math>
  
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c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math>}}
+
c) <math>7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2</math>
  
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<popup name="Tipp">Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen <span style="color: red">nicht</span> verrechnet werden! ''Beispiel:'' <math>7x^2+2x+4x=7x^2+6x</math></popup>
+
<popup name="Tipp">Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen <span style="color: red">'''nicht'''</span> verrechnet werden! ''Beispiel:'' <math>7x^2+2x+4x=7x^2+6x</math>.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>16x^2+6y</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>16x^2+6y</math>
  
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b) <math>6x^2+13x</math>
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b) <math>2x^2+13x</math>
  
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c) <math>-20x^2+11y^2+6</math></popup>
+
c) <math>-20x^2+11y^2+6</math></popup>}}
  
  
 
== Klammern in Termen auflösen ==
 
== Klammern in Termen auflösen ==
  
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{{Aufgaben|1: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"|
+
{{Aufgaben|8: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"|
−
Löse die Klammern auf
+
Löse die Klammern auf.
  
 
a) <math>4 \cdot (x+5)</math>
 
a) <math>4 \cdot (x+5)</math>
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b) <math>-6 \cdot (2y-6x)</math>
 
b) <math>-6 \cdot (2y-6x)</math>
  
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c) <math>3 (11-7y)</math>}}
+
c) <math>3 (11-7y)</math>
  
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<popup name="Tipp 1">Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. ''Beispiel:'' <math>6 \cdot (6+9) = 6 \cdot 6 + 6 \cdot 9 = 36+54 = 90</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}6} \cdot ({\color{red}6}+{\color{green}9}) = {\color{blue}6} \cdot {\color{red}6} + {\color{blue}6} \cdot {\color{green}9} = 36+54 = 90</math>. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint. </popup>
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<popup name="Tipp 2">zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>4x+20</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>4x+20</math>
  
 
b) <math>36x-12y</math>
 
b) <math>36x-12y</math>
  
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c) <math>-21y+33</math></popup>
+
c) <math>-21y+33</math></popup>}}
  
  
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{{Aufgaben|2: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"|
+
{{Aufgaben|9: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"|
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Löse die Klammern auf
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Löse die Klammern auf.
  
 
a) <math>(y+2) \cdot 4</math>
 
a) <math>(y+2) \cdot 4</math>
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b) <math>(4x+6y) \cdot 7</math>
 
b) <math>(4x+6y) \cdot 7</math>
  
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c) <math>(10-5y) \cdot 11</math>}}
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c) <math>(10-5y) \cdot 11</math>
  
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<popup name="Tipp">Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig.</popup>
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<popup name="Tipp">Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>4y+8</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>4y+8</math>
  
 
b) <math>28x+42y</math>
 
b) <math>28x+42y</math>
  
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c) <math>-55y+110</math></popup>
+
c) <math>-55y+110</math></popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|3: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"|
+
{{Aufgaben|10: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"|
−
Löse die Klammern auf
+
Löse die Klammern auf.
  
 
a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
 
a) <math>3x \cdot (11+5y)</math>
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b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>
 
b) <math>(11x-10y) \cdot 3x</math>
  
−
c) <math>x (x-15y)</math>}}
+
c) <math>x (x-15y)</math>
  
 
<popup name="Tipp 1">Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.</popup>
 
<popup name="Tipp 1">Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Achte darauf die verschiedenen Variable zu beachten.</popup>
+
<popup name="Tipp 2">Achte auf die unterschiedlichen Variablen.</popup>
 
<popup name="Lösung">a) <math>33x+15xy</math>
 
<popup name="Lösung">a) <math>33x+15xy</math>
  
 
b) <math>33x^2-30xy</math>
 
b) <math>33x^2-30xy</math>
  
−
c) <math>x^2-15xy</math></popup>
+
c) <math>x^2-15xy</math></popup>}}
  
  
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{{Aufgaben|4: "Terme mit quadratischen Klammern"|
+
{{Aufgaben|11: "Terme mit quadratischen Klammern"|
−
Löse die Klammern auf
+
Löse die Klammern auf.
  
 
a) <math>(4x+5)^2</math>
 
a) <math>(4x+5)^2</math>
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b) <math>(2x+3y)^2</math>
 
b) <math>(2x+3y)^2</math>
  
−
c) <math>(-6x-y)^2</math>}}
+
c) <math>(-6x-y)^2</math>
  
−
<popup name="Tipp 1">Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> und <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>. Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>(x+3) \cdot (x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math></popup>
+
<popup name="Tipp 2">Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent <math>()^2</math> bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math>.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>16x^2+49x+25</math>
+
<popup name="Tipp 3">Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. ''Beispiel:'' <math>({\color{blue}x}+{\color{red}3}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) + {\color{red}3} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}3}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}3} + {\color{red}3} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{red}3} \cdot {\color{green}3} = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9</math>. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.</popup>
 +
<popup name="Lösung">a) <math>16x^2+40x+25</math>
  
 
b) <math>4x^2+12xy+9y^2</math>
 
b) <math>4x^2+12xy+9y^2</math>
  
−
c) <math>36x^2+12xy+y^2</math></popup>
+
c) <math>36x^2+12xy+y^2</math></popup>}}
  
  
 
== In Termen ausklammern ==
 
== In Termen ausklammern ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Memory-Spiel zum Ausklammern"|
+
{{Aufgaben|12: "Memory-Spiel zum Ausklammern"|
−
Ordne die Paare zu
+
Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.
  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9q47bjo518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9q47bjo518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
−
<popup name="Tipp">Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen</popup>
+
<popup name="Tipp">Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.</popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Analoges Ausklammern"|
+
{{Aufgaben|13: "Analoges Ausklammern"|
−
Klammere soweit wie möglich aus
+
Klammere soweit wie möglich aus.
  
 
a) <math>12x-18y</math>
 
a) <math>12x-18y</math>
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b) <math>14x+28y-7x</math>
 
b) <math>14x+28y-7x</math>
  
−
c) <math>12xy+6x-15x^3</math>}}
+
c) <math>12xy+6x-15x^3</math>
  
−
<popup name="Tipp">Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme</popup>
+
<popup name="Tipp">Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>6*(2x-3y)</math>
+
<popup name="Lösung">a) <math>6 \cdot (2x-3y)</math>
  
−
b) <math>7*(2x+4y-x)</math>
+
b) <math>7 \cdot (2x+4y-x)</math>
  
−
c) <math>3x*(4y+2-5x^2)</math></popup>
+
c) <math>3x \cdot (4y+2-5x^2)</math></popup>}}
  
  
 
== Lineare Gleichungen lösen ==
 
== Lineare Gleichungen lösen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"|
+
{{Aufgaben|14: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"|
−
Löse die linearen Gleichung
+
Löse die linearen Gleichungen.
  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pj74qx1rj18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pj74qx1rj18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
−
<popup name="Tipp 1"> Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere</popup>
+
<popup name="Tipp 1"> Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Fasse die gleichartigen Glieder zusammen</popup>
+
<popup name="Tipp 2">Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.</popup>}}
  
  
 
== Quadratische Gleichungen lösen ==
 
== Quadratische Gleichungen lösen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Einfache quadratische Gleichungen"|
+
{{Aufgaben|15: "Einfache quadratische Gleichungen"|
−
Löse die quadratische Gleichung
+
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''.
  
 
a) <math>0=x^2-64</math>
 
a) <math>0=x^2-64</math>
Zeile 227: Zeile 245:
 
b) <math>0=x^2+13x</math>
 
b) <math>0=x^2+13x</math>
  
−
c) <math>-4x=x^2</math>}}
+
c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>
  
−
<popup name="Tipp">Bei diesen Aufgaben benötigst du nicht die p-q-Formel ''Beispiel:'' <math>(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">zu a): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-8</math> oder <math>x_2=8</math>
+
<popup name="Tipp 2">zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.</popup>
 +
<popup name="Tipp 3">zu b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.</popup>
 +
<popup name="Tipp 4">zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.</popup>
 +
<popup name="Tipp 5">zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
 +
<popup name="Lösung">
 +
zu a){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &      0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    64 &= x^2                  &&| \sqrt{\text{ }}\\
 +
&\Leftrightarrow            &\pm 8 &= x                      &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
b) <math>x_1=-13</math> oder <math>x_2=0</math>
+
zu b){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{5}
 +
&                                      &          &                    &          0 &= x^2+13x          &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= x \cdot (x+13) &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }          &    0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }          & -13 &= x_2                   &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0               & \text{ o}&\text{der }          & x_2 &= -13                    &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
c) <math>x_1=-4</math> oder <math>x_2=0</math></popup>
+
zu c){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{5}
 +
&                                      &          &                    &        -2x &= \frac{1}{2}x^2      &      &                            &&| +2x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= \frac{1}{2}x^2+2x &      &                            &&| \cdot 2\\
 +
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x^2+4x                  &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
 +
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x \cdot (x+4)        &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }                &    0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }                & -4 &= x_2                   &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0               & \text{ o}&\text{der }                & x_2 &= -4                  &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}</popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
+
{{Aufgaben|16: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
−
Löse die quadratische Gleichung
+
Löse die quadratischen Gleichungen.
  
 
a) <math>0=x^2+12x+27</math>
 
a) <math>0=x^2+12x+27</math>
Zeile 244: Zeile 292:
 
b) <math>0=x^2+6x-7</math>
 
b) <math>0=x^2+6x-7</math>
  
−
c) <math>16x=x^2-17</math>}}
+
c) <math>16x=x^2-17</math>
  
−
<popup name="Tipp">Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math></popup>
+
<popup name="Tipp 1">Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-9</math> oder <math>x_2=-3</math>
+
<popup name="Tipp 2">zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
 +
<popup name="Lösung">
 +
zu a){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= x^2+12x+27                                                                                &&| p=12, q=27\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -6 \pm 3                                                                                     &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3                                                                &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
b) <math>x_1=-7</math> oder <math>x_2=1</math>
+
zu b){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= x^2+6x-7                                                                                    &&| p=6, q=-7\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -3 \pm 4                                                                                    &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1                                                                 &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
c) <math>x_1=-1</math> oder <math>x_2=17</math></popup>
+
zu c){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      & 16x &= x^2-17                                                                                                &&| -16x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2-16x-17                                                                                        &&| p=-16, q=-17\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 8 \pm 9                                                                                              &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17                                                                       &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}</popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|3: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
+
{{Aufgaben|17: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
−
Löse die quadratische Gleichung
+
Löse die quadratischen Gleichungen.
  
 
a) <math>0=4x^2+40x+36</math>
 
a) <math>0=4x^2+40x+36</math>
Zeile 261: Zeile 333:
 
b) <math>14x=7x^2-56</math>
 
b) <math>14x=7x^2-56</math>
  
−
c) <math>14x=3x^2+2x-15</math>}}
+
c) <math>14x=3x^2+2x-15</math>
 +
 
 +
<popup name="Tipp 1">Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.</popup>
 +
<popup name="Tipp 2">Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.</popup>
 +
<popup name="Lösung">
 +
zu a){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= 4x^2+40x+36                                                                          &&| \colon 4\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2+10x+9                                                                              &&| p=10, q=9\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -5 \pm 4                                                                                    &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=-1                                                              &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
<popup name="Tipp 1">Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x_2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.</popup>
+
zu b){{Versteckt|<math>
−
<popup name="Tipp 2">Steht vor dem <math>x_2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.</popup>
+
\begin{alignat}{3}
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-9</math> oder <math>x_2=-1</math>
+
&                                      & 14x &= 7x^2-56                                                                                        &&| -14x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 7x^2-14x-56                                                                                &&| \colon 7\\
 +
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-2x-8                                                                                      &&| p=-2, q=-8\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 1 \pm 3                                                                                          &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -2 \text{ oder } x_2=4                                                                  &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}
  
−
b) <math>x_1=-2</math> oder <math>x_2=4</math>
+
zu c){{Versteckt|<math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      & 14x &= 3x^2+2x-15                                                                                  &&| -14x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 3x^2-12x-15                                                                                  &&| \colon 3\\
 +
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-4x-5                                                                                        &&| p=-4, q=-5\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 2 \pm 3                                                                                          &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=5                                                                    &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>}}</popup>}}
  
−
c) <math>x_1=-1</math> oder <math>x_2=5</math></popup>
+
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 01:04 Uhr

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederholen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Mathematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.

Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.


Inhaltsverzeichnis

Terme aufstellen

Stift.gif   Aufgabe 1: "Flächeninhalt"

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.


Stift.gif   Aufgabe 2: "Kerze"

Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe deer Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.

1.) f(x)=3,5x+15

2.)f(x)=15x-3,5

3.) f(x)=-3,5x+15

4.) f(x)=-15x+3,5

Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.


Stift.gif   Aufgabe 3: "Krankenhaus"

Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.


Terme zusammenfassen

Stift.gif   Aufgabe 4: "Terme mit einer Variablen"

Fasse die Terme zusammen.

a) 3x+5x

b) 15y-6y

c) 11x+x


Stift.gif   Aufgabe 5: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"

Fasse die Terme zusammen.

a) 2x+10x+11+7

b) 7x+17+5x+2

c) -4x+5+9x-7


Stift.gif   Aufgabe 6: "Terme mit zwei Variablen"

Fasse die Terme zusammen.

a) 3x+5x+7y-2y

b) -2x+15-4y-3x-5

c) -9+y+2x+12x-7y


Stift.gif   Aufgabe 7: "Terme mit Variablen und Exponenten"

Fasse die Terme zusammen.

a) 13x^2+3x^2+9y-3y

b) 9x+4x^2+4x-2x^2

c) 7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2


Klammern in Termen auflösen

Stift.gif   Aufgabe 8: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) 4 \cdot (x+5)

b) -6 \cdot (2y-6x)

c) 3 (11-7y)


Stift.gif   Aufgabe 9: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) (y+2) \cdot 4

b) (4x+6y) \cdot 7

c) (10-5y) \cdot 11


Stift.gif   Aufgabe 10: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) 3x \cdot (11+5y)

b) (11x-10y) \cdot 3x

c) x (x-15y)


Stift.gif   Aufgabe 11: "Terme mit quadratischen Klammern"

Löse die Klammern auf.

a) (4x+5)^2

b) (2x+3y)^2

c) (-6x-y)^2


In Termen ausklammern

Stift.gif   Aufgabe 12: "Memory-Spiel zum Ausklammern"

Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.


Stift.gif   Aufgabe 13: "Analoges Ausklammern"

Klammere soweit wie möglich aus.

a) 12x-18y

b) 14x+28y-7x

c) 12xy+6x-15x^3


Lineare Gleichungen lösen

Stift.gif   Aufgabe 14: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"

Löse die linearen Gleichungen.


Quadratische Gleichungen lösen

Stift.gif   Aufgabe 15: "Einfache quadratische Gleichungen"

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel.

a) 0=x^2-64

b) 0=x^2+13x

c) -2x=\frac{1}{2}x^2


Stift.gif   Aufgabe 16: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratischen Gleichungen.

a) 0=x^2+12x+27

b) 0=x^2+6x-7

c) 16x=x^2-17


Stift.gif   Aufgabe 17: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratischen Gleichungen.

a) 0=4x^2+40x+36

b) 14x=7x^2-56

c) 14x=3x^2+2x-15

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