Achtung:

Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.

Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.

Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten

im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).

Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Projektwiki - ein Wiki mit Schülern für Schüler.
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Terme aufstellen)
Zeile 47: Zeile 47:
 
<popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Welchen y-Wert muss der Term für <math>x=4</math> aufweisen?</popup>
 
<popup name="Tipp 3">Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.
 
<popup name="Tipp 3">Hier siehst du einen Ausschnitt des gesuchten Graphen.
−
[[Datei:Krankenhaus Graph.png|links|500px]]
+
[[Datei:Krankenhaus Graph.png|links|500px]]</popup>
 +
<popup name="Lösung"><math>y=50(x-4)+300</math></popup>}}
  
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
</popup>
 
−
<popup name="Lösung"><math>y=50(x-4)+300</math></popup>}}
 
  
 
== Terme zusammenfassen ==
 
== Terme zusammenfassen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Terme mit einer Variablen"|
+
{{Aufgaben|4: "Terme mit einer Variablen"|
 
Fasse die Terme zusammen.
 
Fasse die Terme zusammen.
  
Zeile 102: Zeile 71:
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"|
+
{{Aufgaben|5: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"|
 
Fasse die Terme zusammen.
 
Fasse die Terme zusammen.
  
Zeile 120: Zeile 89:
  
  
−
{{Aufgaben|3: "Terme mit zwei Variablen"|
+
{{Aufgaben|6: "Terme mit zwei Variablen"|
 
Fasse die Terme zusammen.
 
Fasse die Terme zusammen.
  
Zeile 138: Zeile 107:
  
  
−
{{Aufgaben|4: "Terme mit Variablen und Exponenten"|
+
{{Aufgaben|7: "Terme mit Variablen und Exponenten"|
 
Fasse die Terme zusammen.
 
Fasse die Terme zusammen.
  
Zeile 157: Zeile 126:
 
== Klammern in Termen auflösen ==
 
== Klammern in Termen auflösen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"|
+
{{Aufgaben|8: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"|
 
Löse die Klammern auf.
 
Löse die Klammern auf.
  
Zeile 175: Zeile 144:
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"|
+
{{Aufgaben|9: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"|
 
Löse die Klammern auf.
 
Löse die Klammern auf.
  
Zeile 192: Zeile 161:
  
  
−
{{Aufgaben|3: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"|
+
{{Aufgaben|10: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"|
 
Löse die Klammern auf.
 
Löse die Klammern auf.
  
Zeile 210: Zeile 179:
  
  
−
{{Aufgaben|4: "Terme mit quadratischen Klammern"|
+
{{Aufgaben|11: "Terme mit quadratischen Klammern"|
 
Löse die Klammern auf.
 
Löse die Klammern auf.
  
Zeile 231: Zeile 200:
 
== In Termen ausklammern ==
 
== In Termen ausklammern ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Memory-Spiel zum Ausklammern"|
+
{{Aufgaben|12: "Memory-Spiel zum Ausklammern"|
 
Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.
 
Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.
  
Zeile 239: Zeile 208:
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Analoges Ausklammern"|
+
{{Aufgaben|13: "Analoges Ausklammern"|
 
Klammere soweit wie möglich aus.
 
Klammere soweit wie möglich aus.
  
Zeile 258: Zeile 227:
 
== Lineare Gleichungen lösen ==
 
== Lineare Gleichungen lösen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"|
+
{{Aufgaben|14: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"|
 
Löse die linearen Gleichungen.
 
Löse die linearen Gleichungen.
  
Zeile 269: Zeile 238:
 
== Quadratische Gleichungen lösen ==
 
== Quadratische Gleichungen lösen ==
  
−
{{Aufgaben|1: "Einfache quadratische Gleichungen"|
+
{{Aufgaben|15: "Einfache quadratische Gleichungen"|
 
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''.
 
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''.
  
Zeile 283: Zeile 252:
 
<popup name="Tipp 4">zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.</popup>
 
<popup name="Tipp 4">zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.</popup>
 
<popup name="Tipp 5">zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
 
<popup name="Tipp 5">zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-8</math> oder <math>x_2=8</math>
+
<popup name="Lösung">
 +
<popup name="zu a)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &      0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    64 &= x^2                  &&| \sqrt{\text{ }}\\
 +
&\Leftrightarrow            &\pm 8 &= x                      &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
b) <math>x_1=-13</math> oder <math>x_2=0</math>
+
<popup name="zu b)"><math>
 +
\begin{alignat}{5}
 +
&                                      &          &                    &          0 &= x^2+13x          &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= x \cdot (x+13) &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }          &    0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }          & -13 &= x_2                   &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0               & \text{ o}&\text{der }          & x_2 &= -13                    &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
c) <math>x_1=-4</math> oder <math>x_2=0</math></popup>}}
+
<popup name="zu c)"><math>
 +
\begin{alignat}{5}
 +
&                                      &          &                    &        -2x &= \frac{1}{2}x^2      &      &                            &&| +2x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= \frac{1}{2}x^2+2x &      &                            &&| \cdot 2\\
 +
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x^2+4x                  &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
 +
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x \cdot (x+4)        &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }                &    0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
 +
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }                & -4 &= x_2                   &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0               & \text{ o}&\text{der }                & x_2 &= -4                  &&
 +
\end{alignat}
 +
</math></popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|2: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
+
{{Aufgaben|16: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
 
Löse die quadratischen Gleichungen.
 
Löse die quadratischen Gleichungen.
  
Zeile 301: Zeile 296:
 
<popup name="Tipp 1">Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.</popup>
 
<popup name="Tipp 1">Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.</popup>
 
<popup name="Tipp 2">zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
 
<popup name="Tipp 2">zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-9</math> oder <math>x_2=-3</math>
+
<popup name="Lösung">
 +
<popup name="zu a)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= x^2+12x+27                                                                                &&| p=12, q=27\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -6 \pm 3                                                                                      &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3                                                                 &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
b) <math>x_1=-7</math> oder <math>x_2=1</math>
+
<popup name="zu b)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= x^2+6x-7                                                                                    &&| p=6, q=-7\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -3 \pm 4                                                                                    &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1                                                                 &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
c) <math>x_1=-1</math> oder <math>x_2=17</math></popup>}}
+
<popup name="zu c)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      & 16x &= x^2-17                                                                                                &&| -16x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2-16x-17                                                                                        &&| p=-16, q=-17\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 8 \pm 9                                                                                              &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17                                                                       &&
 +
\end{alignat}
 +
</math></popup>}}
  
  
−
{{Aufgaben|3: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
+
{{Aufgaben|17: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"|
 
Löse die quadratischen Gleichungen.
 
Löse die quadratischen Gleichungen.
  
Zeile 319: Zeile 337:
 
<popup name="Tipp 1">Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.</popup>
 
<popup name="Tipp 1">Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.</popup>
−
<popup name="Lösung">a) <math>x_1=-9</math> oder <math>x_2=-1</math>
+
<popup name="Lösung">
 +
<popup name="zu a)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      &    0 &= 4x^2+40x+36                                                                          &&| \colon 4\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= x^2+10x+9                                                                              &&| p=10, q=9\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -5 \pm 4                                                                                    &&\\
 +
&\Leftrightarrow            & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=-1                                                             &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
b) <math>x_1=-2</math> oder <math>x_2=4</math>
+
<popup name="zu b)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      & 14x &= 7x^2-56                                                                                        &&| -14x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 7x^2-14x-56                                                                                &&| \colon 7\\
 +
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-2x-8                                                                                      &&| p=-2, q=-8\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 1 \pm 3                                                                                          &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -2 \text{ oder } x_2=4                                                                   &&
 +
\end{alignat}
 +
</math>
  
−
c) <math>x_1=-1</math> oder <math>x_2=5</math></popup>}}
+
<popup name="zu c)"><math>
 +
\begin{alignat}{3}
 +
&                                      & 14x &= 3x^2+2x-15                                                                                  &&| -14x\\
 +
&\Leftrightarrow \qquad &    0 &= 3x^2-12x-15                                                                                  &&| \colon 3\\
 +
&\Leftrightarrow            &    0 &= x^2-4x-5                                                                                        &&| p=-4, q=-5\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \qquad &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &    x &= 2 \pm 3                                                                                          &&\\
 +
&\Leftrightarrow            &  x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=5                                                                   &&
 +
\end{alignat}
 +
</math></popup>}}

Version vom 11. Juni 2018, 19:33 Uhr

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederhohlen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Matematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest.

Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.


Inhaltsverzeichnis

Terme aufstellen

Stift.gif   Aufgabe 1: "Flächeninhalt"

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.


Stift.gif   Aufgabe 2: "Kerze"

Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Begründe für die folgenden Terme, ob sie die Höhe deer Kerze nach einer gewissen Brenndauer sinnvoll beschreiben oder nicht.

1.) f(x)=3,5x+15

2.)f(x)=15x-3,5

3.) f(x)=-3,5x+15

4.) f(x)=-15x+3,5

Berechne mit dem richtigen Term die Höhe der Kerze nach 3 und nach 7 Stunden. Interpretiere die Ergebnisse.


Stift.gif   Aufgabe 3: "Krankenhaus"

Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 500 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 300 ml durch den Tropf. Danach soll die Dosierung langsam verringert werden. Um die restlichen 200 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen, wird die Tropfgeschwindigkeit auf 50 ml pro Stunde verringert. Stelle einen Term für das Volumen der insgesamt bereits verabreichten Infusionslösung innerhalb der letzten 4 Stunden auf.


Terme zusammenfassen

Stift.gif   Aufgabe 4: "Terme mit einer Variablen"

Fasse die Terme zusammen.

a) 3x+5x

b) 15y-6y

c) 11x+x


Stift.gif   Aufgabe 5: "Terme mit einer Variablen und Konstanten"

Fasse die Terme zusammen.

a) 2x+10x+11+7

b) 7x+17+5x+2

c) -4x+5+9x-7


Stift.gif   Aufgabe 6: "Terme mit zwei Variablen"

Fasse die Terme zusammen.

a) 3x+5x+7y-2y

b) -2x+15-4y-3x-5

c) -9+y+2x+12x-7y


Stift.gif   Aufgabe 7: "Terme mit Variablen und Exponenten"

Fasse die Terme zusammen.

a) 13x^2+3x^2+9y-3y

b) 9x+4x^2+4x-2x^2

c) 7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2


Klammern in Termen auflösen

Stift.gif   Aufgabe 8: "Terme mit konstanten ersten Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) 4 \cdot (x+5)

b) -6 \cdot (2y-6x)

c) 3 (11-7y)


Stift.gif   Aufgabe 9: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) (y+2) \cdot 4

b) (4x+6y) \cdot 7

c) (10-5y) \cdot 11


Stift.gif   Aufgabe 10: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren"

Löse die Klammern auf.

a) 3x \cdot (11+5y)

b) (11x-10y) \cdot 3x

c) x (x-15y)


Stift.gif   Aufgabe 11: "Terme mit quadratischen Klammern"

Löse die Klammern auf.

a) (4x+5)^2

b) (2x+3y)^2

c) (-6x-y)^2


In Termen ausklammern

Stift.gif   Aufgabe 12: "Memory-Spiel zum Ausklammern"

Ordne die Paare zu, indem du zugehörige Paare übereinander ziehst.


Stift.gif   Aufgabe 13: "Analoges Ausklammern"

Klammere soweit wie möglich aus.

a) 12x-18y

b) 14x+28y-7x

c) 12xy+6x-15x^3


Lineare Gleichungen lösen

Stift.gif   Aufgabe 14: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen"

Löse die linearen Gleichungen.


Quadratische Gleichungen lösen

Stift.gif   Aufgabe 15: "Einfache quadratische Gleichungen"

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel.

a) 0=x^2-64

b) 0=x^2+13x

c) -2x=\frac{1}{2}x^2


Stift.gif   Aufgabe 16: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratischen Gleichungen.

a) 0=x^2+12x+27

b) 0=x^2+6x-7

c) 16x=x^2-17


Stift.gif   Aufgabe 17: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren"

Löse die quadratischen Gleichungen.

a) 0=4x^2+40x+36

b) 14x=7x^2-56

c) 14x=3x^2+2x-15

Von „https://projektwiki.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Funktioniert%27s%3F_Übergang_von_der_SI_zur_SII/Terme_und_Gleichungen&oldid=46688“