Terme und Gleichungen

In diesem Lernpfad geht es um das Wiederhohlen und Vertiefen deines Wissens über Terme und Gleichungen. Du findest hier Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen Lösen. Der Lernpfad orientiert sich dabei an der Tabelle zur Selbsteinschätzung des Diagnosetests Matematik zum Übergang SI / SII, sodass du gezielt die Aufgaben bearbeiten kannst, bei denen du dich noch verbessern möchtest. Solltest du bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, findest du unter dieser verschiedene Tipps, die dir helfen könnten. Versuche die Aufgabe jedoch zunächst ohne Hilfe zu bearbeiten; klappt dies nicht oder stimmt deine Lösung nicht mit der angegebenen Lösung überein, so kannst du dir nacheinander die Tipps anschauen. Falls es mehrere Tipps gibt, starte damit dir Tipp 1 anzuschauen und versuche dann zunächst wieder die Aufgabe zu lösen, usw.

Terme aufstellen

Aufgabe 1: "Flächeninhalt" Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.

Aufgabe 2: "Kerze" Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt pro Stunde 3,5 cm ab. Stelle einen Term auf, mit dem du die Höhe der Kerze zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen kannst. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Die allgemeine Geradengleichung lautet $y=n*x+m$, wobei n die Steigung und m der y-Achsenabschnitt ist. Welche Bedeutung haben diese im Sachzusammenhang? Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Liegt ein positives oder ein negatives Wachstum vor? Lösung anzeigen Lösung verstecken $y=15-3.5x$, wobei $y$ die Höhe in Zentimetern und $x$ die Zeit in Stunden ist.

Aufgabe 3: "Krankenhaus" Einem Patienten soll nach einer Operation innerhalb von 8 Stunden 100 ml Infusionslösung über einen Tropf verabreicht werden. Innerhalb der ersten vier Stunden laufen bereits 40 ml durch den Tropf. Um die restlichen 60 ml in den verbleibenden vier Stunden zu verabreichen wird die Tropfgeschwindigkeit auf 15 ml pro Stunde erhöht. Stelle einen Term für das Volumen der bereits verabreichten Infusionslösung ab 4 Stunden auf. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Welche der gegebenen Werte entspricht der Steigung und dem Startwert? Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Welchen y-Wert muss der Term für $x=4$ aufweisen? Lösung anzeigen Lösung verstecken $y=15(x-4)+40$

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1: "Terme mit einer Variablen" Fasse die Terme zusammen. a) $3x+5x$ b) $15y-6y$ c) $11x+x$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Klammere die Variable aus und berechne anschließend den Term innerhalb der Klammer. Beispiel: $2x+7x=(2+7) \cdot x=9x$. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken zu c): Der Vorfaktor $1$ wird in der Regel nicht ausgeschrieben. Steht also kein Faktor vor einer Variablen, so handelt es sich um $1$. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $8x$ b) $9y$ c) $12x$

Aufgabe 2: "Terme mit einer Variablen und Konstanten" Fasse die Terme zusammen. a) $2x+10x+11+7$ b) $7x+17+5x+2$ c) $-4x+5+9x-7$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: $3+2x+11+7x=2x+7x+3+11$. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion $a-b$ kann zudem in eine Addition umgeformt werden $a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a$. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Fasse alle Konstanten zusammen. Beispiel: $2x+14+5=2x+19$. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $12x+18$ b) $12x+19$ c) $5x-2$

Aufgabe 3: "Terme mit zwei Variablen" Fasse die Terme zusammen. a) $3x+5x+7y-2y$ b) $-2x+15-4y-3x-5$ c) $-9+y+2x+12x-7y$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Beginne zunächst damit den Term nach der Variable zu sortieren. Beispiel: $2x+13y+7x=2x+7x+13y$. Dieser Tipp geht auf das Kommutativgesetz zurück, welches bei der Addition gilt. Jede Subtraktion $a-b$ kann zudem in eine Addition umgeformt werden $a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a$. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Bei Addition/Subtraktion dürfen gleichartige Terme zusammengefasst werden. Beispiel: $2x+7x+13y=9x+13y$. Diese Regel geht auf das Distributivgesetz zurück, indem die Variable ausgeklammert wird. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $8x+5y$ b) $-5x-4y+10$ c) $14x-6y-9$

Aufgabe 4: "Terme mit Variablen und Exponenten" Fasse die Terme zusammen. a) $13x^2+3x^2+9y-3y$ b) $9x+4x^2+4x-2x^2$ c) $7y^2+6+4y^2-14x^2-6x^2$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Vorfaktoren einer Variable mit unterschiedlichen Exponenten dürfen nicht verrechnet werden! Beispiel: $7x^2+2x+4x=7x^2+6x$. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $16x^2+6y$ b) $2x^2+13x$ c) $-20x^2+11y^2+6$

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 1: "Terme mit konstanten ersten Faktoren" Löse die Klammern auf. a) $4 \cdot (x+5)$ b) $-6 \cdot (2y-6x)$ c) $3 (11-7y)$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Steht in der Klammer eine Addition, so multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Bei der Subtraktion geht es genau so. Beispiel: $6 \cdot (6+9) = 6 \cdot 6 + 6 \cdot 9 = 36+54 = 90$. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken zu c): Ist kein Rechenzeichen explizit vor die Klammer geschrieben, so ist die Multiplikation gemeint. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $4x+20$ b) $36x-12y$ c) $-21y+33$

Aufgabe 2: "Terme mit konstanten zweiten Faktoren" Löse die Klammern auf. a) $(y+2) \cdot 4$ b) $(4x+6y) \cdot 7$ c) $(10-5y) \cdot 11$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht ist nicht wichtig. Dieser Tipp geht darauf zurück, dass die Multiplikation und Addition sowohl links- als auch rechtsdistributiv sind. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $4y+8$ b) $28x+42y$ c) $-55y+110$

Aufgabe 3: "Terme mit Variablen in beiden Faktoren" Löse die Klammern auf. a) $3x \cdot (11+5y)$ b) $(11x-10y) \cdot 3x$ c) $x (x-15y)$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Achte auf die unterschiedlichen Variablen. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $33x+15xy$ b) $33x^2-30xy$ c) $x^2-15xy$

Aufgabe 4: "Terme mit quadratischen Klammern" Löse die Klammern auf. a) $(4x+5)^2$ b) $(2x+3y)^2$ c) $(-6x-y)^2$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Die binomischen Formeln gehen auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent $()^2$ bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: $(x+3)^2=(x+3) \cdot (x+3)$. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: $(x+3) \cdot (x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9$. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $16x^2+40x+25$ b) $4x^2+12xy+9y^2$ c) $36x^2+12xy+y^2$

In Termen ausklammern

Aufgabe 1: "Memory-Spiel zum Ausklammern" Ordne die Paare zu. Tipp anzeigen Tipp verstecken Löse die Klammern auf, um die Paare zu erkennen.

Aufgabe 2: "Analoges Ausklammern" Klammere soweit wie möglich aus. a) $12x-18y$ b) $14x+28y-7x$ c) $12xy+6x-15x^3$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Finde den größten gemeinsamen Teiler der einzelnen Glieder der Terme. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $6 \cdot (2x-3y)$ b) $7 \cdot (2x+4y-x)$ c) $3x \cdot (4y+2-5x^2)$

Lineare Gleichungen lösen

Aufgabe 1: "Lineare Gleichungen im Quiz lösen" Löse die linearen Gleichungen. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Bringe alle Glieder mit Variablen auf die eine Seite und alle Glieder ohne Variable auf die andere. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Fasse die gleichartigen Glieder zusammen.

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 1: "Einfache quadratische Gleichungen" Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel. a) $0=x^2-64$ b) $0=x^2+13x$ c) $-4x=x^2$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken zu a): Bei Gleichungen der Form $ax^2+c$, also ohne linearen Summanden $bx$ kannst du die Gleichung umstellen, sodass $x^2$ alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken zu b): Bei Gleichungen der Form $ax^2+bx$, also ohne konstanten Summanden $c$ kannst du $x$ ausklammern. Tipp 4 anzeigen Tipp 4 verstecken zu b): Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren bereits $0$ ist. Beispiel: $x \cdot (x-2)=0$ bedeutet, dass entweder $x \cdot (x-2)=0$ oder $x-2=0$ gilt. Tipp 5 anzeigen Tipp 5 verstecken zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen $0$ steht. Fahre dann fort, wie in b). Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $x_1=-8$ oder $x_2=8$ b) $x_1=-13$ oder $x_2=0$ c) $x_1=-4$ oder $x_2=0$

Aufgabe 2: "Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren" Löse die quadratischen Gleichungen. a) $0=x^2+12x+27$ b) $0=x^2+6x-7$ c) $16x=x^2-17$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form $0=x^2+px+q$, lies dann $p$ und $q$ ab und bestimme die Lösung mit $x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen $0$ steht. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $x_1=-9$ oder $x_2=-3$ b) $x_1=-7$ oder $x_2=1$ c) $x_1=-1$ oder $x_2=17$

Aufgabe 3: "Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren" Löse die quadratischen Gleichungen. a) $0=4x^2+40x+36$ b) $14x=7x^2-56$ c) $14x=3x^2+2x-15$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem $x^2$ der Vorfaktor $1$ (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Steht vor dem $x^2$ ein anderer Vorfaktor als $1$, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $x_1=-9$ oder $x_2=-1$ b) $x_1=-2$ oder $x_2=4$ c) $x_1=-1$ oder $x_2=5$