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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | In der untenstehenden Grafik siehst du | + | In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lassen sich die Punkte zurücksetzen. |
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| − | Bestimme mithilfe der Abbildung die Ableitung der Funktion im Punkt P. | + | Bestimme mithilfe der Abbildung '''durch genaues Hinsehen''' die Ableitung der Funktion im Punkt P. |
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| − | Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also die Punkte in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt | + | Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also die Punkte in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt ist das schwierig. So genau kann ich da gar keine Tangente einzeichnen! Ich würde sagen, es gibt zwei verschiedene Tangenten in dem Punkt. Was bedeutet das denn für die Ableitung?" |
| − | Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. | + | Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten? |
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zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten. </popup> | zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten. </popup> | ||
| − | <popup name="Lösung zu a)"> Steigung der Tangenten m=0,91, also | + | <popup name="Lösung zu a)"> Steigung der Tangenten m=0,91, also gilt für die Ableitung der Funktion f in P: f'(0,54)=0,91. </popup> |
<popup name="Lösung zu b)"> Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt. </popup>}} | <popup name="Lösung zu b)"> Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt. </popup>}} | ||
Version vom 13. November 2018, 18:39 Uhr
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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt. In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt. In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen. Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt. Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben. |
Inhaltsverzeichnis |
Lückentexte zu Tangente und Sekante
 Aufgabe 1: Lückentext
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| Aufgabe 2: Lückentext
In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x0 und h einstellen kannst. Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma getrennt werden. Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.
Benötigst du einen Tipp? Dann klicke auf die Glühbirne in der oberen linken Ecke des Lückentextes. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".
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Tangentengleichung aufstellen
| Aufgabe 3
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| Aufgabe 4
a)
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion b)
In welchem Punkt berührt die Tangente |
im Punkt 
.
.
den Graphen 
?
| Aufgabe 5
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so, dass die Tangente (g) senkrecht zur Tangente (a) an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist.
gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit 
sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)
.Ableitung und Steigung
| Aufgabe 6
Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind. Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t mit deiner Maus bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen.
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Forderaufgaben
| Aufgabe 7
In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt. Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum? Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung. |
| Aufgabe 8
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lassen sich die Punkte zurücksetzen. a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P.
Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten?
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