Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt

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Differenzenquotient	Differenzialquotient
die Steigung zwischen zwei Punkten A und B	die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung	die Ableitung an der Stelle
die Sekante	die Tangente
durchschnittliche Änderungsrate	momentane Änderungsrate

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Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.

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Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei eine Funktion mit = Zeit in Stunden und = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein . Da nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit

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zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten .

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall .

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.

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Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle.

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Hier ein Beispiel, wie du berechnen kannst, ob etwas zu- oder abnimmt: Zwischen 13.00 Uhr und 15.00 Uhr gilt (520-475):2= 22,5, also eine Zunahme der Besucherzahl zwischen den beiden Uhrzeiten.

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Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr, dies lässt sich gut erkennen, da sich die Besucherzahl um jede weitere Stunde erhöht. Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant, um 15.00 und 16.00 sind nach der Tabelle jeweils 520 Besucher im Bundestag. Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.

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Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt.

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Besonders könnte beispielsweise sein, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Menschen den Bundestag besuchen wollen. Überlege dir zum Beispiel, welche Programme für die Besucher zu dieser Uhrzeit dort angeboten werden können.

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Lösungsvorschlag: Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen.

Gründe dafür könnten sein, dass zu diesen Uhrzeiten Sonderführungen angeboten werden. Ebenfalls könnte ein Grund sein, dass zu diesen Zeiten der Deutsche Bundestag tagt und dieses ein besonderes Erlebnis für die Besucher sein könnte.

Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren. An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

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Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.

Tipp 1 verstecken
Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: . Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.

Tipp 2 verstecken
Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".

Lösung zu a) verstecken
Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: . Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:

1. Lücke: 11000

2. Lücke: 43750

3. Lücke: 5500

4. Lücke: 8750

Tipp 1 verstecken
Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.

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Die Ableitung ist gegeben durch:

Tipp 3 verstecken
Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?

Lösung zu b) verstecken
1. Lücke: 4000

2. Lücke: 7500

3. Lücke: 10000

Die Ware ist unverkäuflich, wenn gilt. Die Gleichung muss dann nach aufgelöst werden. Damit:

4. Lücke: 25