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Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Symmetrie der Normalparabel und das Intervall <math>[-1, 1]</math> führen in diesem Fall dazu, dass sich der Teil mit der negativen Steigung und der mit der positiven gegenseitig aufheben. Die Sekante ist in diesem Fall eine Konstante (Parallele zur x-Achse) und hat dementsprechend keine Steigung. Obwohl Weg zurück gelegt wird, kann es im Schnitt also so aussehen, als hätte man sich gar nicht bewegt.  
 
Die Symmetrie der Normalparabel und das Intervall <math>[-1, 1]</math> führen in diesem Fall dazu, dass sich der Teil mit der negativen Steigung und der mit der positiven gegenseitig aufheben. Die Sekante ist in diesem Fall eine Konstante (Parallele zur x-Achse) und hat dementsprechend keine Steigung. Obwohl Weg zurück gelegt wird, kann es im Schnitt also so aussehen, als hätte man sich gar nicht bewegt.  

Version vom 12. November 2017, 20:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und der momentanen Änderungsrate.

In Aufgabe 1 geht es ausschließlich um die durchschnittliche Änderungsrate.

In Aufgabe 2 geht es darum, zu erkennen, ob bei einem gegebenen Kontext um die durchschnittliche oder momentane Änderungsrate berechnet werden soll.

Aufgabe 3 zeigt anhand einer realen Situation, wie durchschnittliche und momentane Änderungsrate zusammenhängen.

In dieser Aufgabe erwarten dich drei Teilaufgaben. In der ersten geht es um die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate. Solltest du da bereits sicher sein, kannst du dich auf 4. und 5. konzentrieren und direkt zu Teil b) übergehen, in dem ein Ergebnis aus a) erklärt werden soll. In Teil c) sollen einem Diagramm Informationen entnommen werden.

Die durchschnittliche Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 1a: Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate für ...
  1. f(x)=x^2 im Intervall [3, 5] und im Intervall [-1, 1]?
  2. g(x)=1-x^2 im Intervall [1, 3]?
  3. h(x)=-\frac{1}{8}x^2+2x im Intervall [2, 10]?
  4. i(x)=x^3+4x im Intervall [-5, 6]?
  5. j(x)=x^4+2x^2-x im Intervall [-6, -2] ?


Stift.gif   Aufgabe 1b: Wie ist der zweite Wert (Ergebnis) bei a) 1. zu erklären?
Stift.gif   Aufgabe 1c: Das Wetter in Münster und Lubumbashi


Temperature curve, Münster, Lubumbashi


Unterscheidung von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

In dieser Aufgabe erwarten dich zwei Teilaufgaben. In der ersten kannst du trainieren, wann die durchschnittliche und wann die momentane Änderungsrate zu berechnen ist. In Teilaufgabe b) wird das Erlernte dann vertieft. Diese Teilaufgabe ist besonders geeignet, wenn du in Teilaufgabe a) sehr sicher warst und danach eine Herausforderung suchst.
Stift.gif   Aufgabe 2a: Entscheidungen im Kontext treffen

Stift.gif   Aufgabe 2b: Reflexion der Entscheidungen

Formuliere in deinem Heft, woran du die Entscheidung für die momentane oder durchschnittliche Änderungsrate festmachst!

Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - eine Fahrradtour durch Münster

In dieser Aufgabe erwarten dich fünf Teilaufgaben. In der ersten sollst du zunächst aus einem Video Daten extrahieren. In den Teilaufgaben b) und c) sollen dann anhand dieser Daten durchschnittliche Änderungsraten berechnet werden. In Teilaufgabe d) kannst du überprüfen, wie gut du die Bedeutung der durchschnittlichen Änderungsrate schon verstanden hast. In der letzten Teilaufgabe kannst du dann selber graphisch ausprobieren, wie aus der durchschnittlichen Änderungsrate die momentane Änderungsrate wird.


Die ersten drei Teilaufgaben zeigen also noch einmal anhand einer realen Situation, wann die durchschnittliche Änderungsrate im Alltag zum Einsatz kommt und die Teilaufgaben d) und e) helfen dir, dein Verständnis zu überprüfen und zu verbessern.

Stift.gif   Aufgabe 3a: Fahrradfahren durch Münster

Eine Gruppe Touristen macht eine Sightseeing-Tour mit dem Fahrrad durch Münster. Sie starten in der Nähe von Münsters Schloss. Nachfolgend siehst du eine Video-Aufnahme, die einer der Touristen auf der Tour aufnimmt. Übertrage folgende Tabelle in dein Heft:

Nr. Streckenabschnitt Zeit (Sek) Entfernung (m)
1 Beginn der Aufnahme in der Frauenstraße 0
2 Abbiegen auf den Rad- & Fußweg an der eingerüsteten Überwasserkirche 150
3 Ankunft am Dom 400

Sieh dir nun das Video an und notiere in der dritten Spalte die Zeit im Video, an der die Streckenabschnitte der zweiten Spalte beginnen.
Hinweis: Die Zeitangaben sind hier nicht ganz eindeutig. Du kannst dich auf eine Zeit festlegen, denn es ist für die weitere Aufgabe nicht entscheidend, ob die Radfahrer schon eine Sekunde früher oder später an einem Ort angekommen sind.


Stift.gif   Aufgabe 3b: Fahrradfahren durch Münster

Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der die Touristen die gesamte Strecke von Beginn der Aufnahme bis zum Dom zurückgelegt haben.

Stift.gif   Aufgabe 3c: Fahrradfahren durch Münster

Wie schnell waren die Touristen im Schnitt zwischen

  • Beginn der Aufnahme und dem Abbiegen auf den Fuß- und Radweg?
  • Abbiegen auf den Fuß- und Radweg und Ankunft am Dom?
Stift.gif   Aufgabe 3d: Fahrradfahren durch Münster

Beantworte die folgenden Fragen.

Halten sich die Touristen zwischen Beginn der Aufnahme und dem Abbiegen auf den Fuß- & Radweg an der eingerüsteten Überwasserkirche an die Schrittgeschwindigkeit von 6km/h? (!Ja) (Nein)

Wenn die durchschnittliche Geschwindigkeit der Radfahrer für die Strecke über 6km/h liegt, dann halten sie sich in keinem Teilbereich der Strecke an die Schrittgeschwindigkeit. Stimmt diese Aussage? (!Ja) (Nein)

Stift.gif   Aufgabe 3e: Fahrradfahren durch Münster

Wie schnell sind die Touristen beim Abbiegen von der Straße auf den Rad- und Fußgängerweg vor der eingerüsteten Überwasserkirche? Nutze dafür den Schieberegler. Das Applet stellt nur das Abbiegen dar, wobei auf der x-Achse die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke in Metern eingetragen ist.

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