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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Auf dieser Seite beschäftigen wir uns mit der Achsensymmetrie zur y- Achse.<br /> | + | Auf dieser Seite beschäftigen wir uns mit der '''Achsensymmetrie zur y- Achse'''.<br /> |
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| − | | valign="top"| Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.<br /> | + | | valign="top"| Spiegle die Punkte '''<span style="color: #008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>'''.<br /> |
Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.<br /> | Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.<br /> | ||
Was fällt dir auf?<br /> | Was fällt dir auf?<br /> | ||
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<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
| − | *Es besteht eine Beziehung zwischen den Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|y): | + | *Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|y): |
**Die x- Koordinate wird mit -1 multipliziert. | **Die x- Koordinate wird mit -1 multipliziert. | ||
| − | **Die y- Koordinate bleibt gleich.<br /> | + | **Die y- Koordinate bleibt immer gleich.<br /> |
*Es handelt sich hier um die Funktion f: x -> x<sup>2</sup>. | *Es handelt sich hier um die Funktion f: x -> x<sup>2</sup>. | ||
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Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;<br /> | Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;<br /> | ||
| − | also eine Funktion, | + | also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>''' gespiegelt wird?<br /> |
Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?<br /> | Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?<br /> | ||
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*'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | *'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | ||
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| − | Alle Funktionen haben gemeinsam, dass | + | Alle Funktionen haben gemeinsam, dass im Funktionsterm nur x- Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen.<br /> |
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| + | '''Aber wieso dürfen nur gerade Exponenten auftauchen?'''<br /> | ||
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| + | <br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | '''Antwort:''' | ||
| + | Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein.<br /> | ||
| + | Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br /> | ||
| + | Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | ||
| + | h(-x) <br /> | ||
| + | = (-x)<sup>12</sup> - 4 (-x)<sup>8</sup> - 1<br /> | ||
| + | = (+x)<sup>12</sup> - 4 (+x)<sup>8</sup> - 1<br /> | ||
| + | = h(x)<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: <br /> | ||
| + | Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
| + | k(-x)<br /> | ||
| + | = (-x)<sup>12</sup> - 4(-x)<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
| + | = (+x)<sup>12</sup> - 4 (-x)<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
| + | = x<sup>12</sup> '''+''' 4x<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
| + | ≠ k(x) | ||
|width="1%"| | |width="1%"| | ||
| − | | <ggb_applet width="450" height="530" version="4.2" ggbBase64=" | + | | <ggb_applet width="450" height="530" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> |
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Version vom 28. Mai 2013, 21:35 Uhr
Auf dieser Seite beschäftigen wir uns mit der Achsensymmetrie zur y- Achse.
| Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse. Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
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Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x)
Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.
Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?
Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?
| Zurück zur Symmetrie von Funktionsgraphen | Weiter zur Punktsymmetrie zum Ursprung |
Manipulationen an Funktionen
