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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen
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<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
<tr><td width="800px" valign="top"> | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
| − | + | <big>Spiegle die Punkte '''<span style="color: #008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>'''.<br /> | |
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Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.<br /> | Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.<br /> | ||
Was fällt dir auf?<br /> | Was fällt dir auf?<br /> | ||
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Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br /> | Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br /> | ||
| − | Welche Funktion wird hier abgebildet?<br /> | + | Welche Funktion wird hier abgebildet?</big><br /> |
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| − | <popup name="Hilfe zu GeoGebra"> | + | |
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| + | |valign="top"|<popup name="Hilfe zu GeoGebra"> | ||
*Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen. | *Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen. | ||
*Es gibt aber auch die Möglichkeit Objekte direkt zu spiegeln: | *Es gibt aber auch die Möglichkeit Objekte direkt zu spiegeln: | ||
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| − | | valign="top"| <ggb_applet width="581" height="477" version="4.2" 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| + | |} | ||
<br /> | <br /> | ||
| + | <big>Übertrage die gespiegelten Punkte und den daraus entstandenen Funktionsgraphen auf dein Arbeitsblatt.<br /> | ||
| + | Fülle den Lückentext aus und setze die kontrollierten Antworten auf deinem Arbeitsblatt richtig ein.</big><br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | <iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pbvmnw5o3" style="border:0px;width:100%;height:590px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<br /> | <br /> | ||
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</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> | ||
</div> | </div> | ||
| − | <div style="padding:1px;background: # | + | <div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;"> |
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
<tr><td width="800px" valign="top"> | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
| − | === <big>Allgemein | + | === <big>Allgemein === |
| − | + | Kannst du jetzt eine allgemeine Regel herleiten?<br /> | |
| − | + | Fülle den Lückentext aus und übertrage die kontrollierten Antworten auf dein Arbeitsblatt.</big><br /> | |
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
| + | <u>MERKE:</u><br /> | ||
Ist der Graph einer Funktion f '''achsensymmetrisch zur y- Achse''',<br /> | Ist der Graph einer Funktion f '''achsensymmetrisch zur y- Achse''',<br /> | ||
| − | so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den ''' | + | so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den gleichen '''Funktionswert'''.<br /> |
| − | Es gilt also: f (x) = f (-x)<br /> | + | Es gilt also: f (x) = f (-x).<br /> |
<br /> | <br /> | ||
Man kann aber auch vom '''Funktionsterm''' auf den '''Verlauf des Graphen''' schließen:<br /> | Man kann aber auch vom '''Funktionsterm''' auf den '''Verlauf des Graphen''' schließen:<br /> | ||
| − | Gilt für eine Funktion f mit der '''Definitionsmenge D<sub>f</sub>''' für alle x ∈ D<sub>f</sub><br /> | + | Gilt für eine Funktion f mit der '''Definitionsmenge D<sub>f</sub>''' für alle x ∈ D<sub>f</sub>:<br /> |
f (x) = f (-x),<br /> | f (x) = f (-x),<br /> | ||
dann verläuft der Graph von f '''achsensymmetrisch zur y- Achse'''. | dann verläuft der Graph von f '''achsensymmetrisch zur y- Achse'''. | ||
| Zeile 72: | Zeile 71: | ||
Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion '''f(x)''' gegeben, die du noch verändern kannst. <br /> | Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion '''f(x)''' gegeben, die du noch verändern kannst. <br /> | ||
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.<br /> | Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.<br /> | ||
| − | Stelle die Parameter '''<span style="color: red">a</span>''', '''<span style="color: # | + | Stelle die Parameter '''<span style="color: red">a</span>''', '''<span style="color: #00BFFF ">b</span>''', '''<span style="color: #76EE00 ">c</span>''', '''<span style="color: orange">d</span>''', '''<span style="color: #EE00EE">e</span>''' so ein, dass '''f''' '''<span style="color: #551A8B">achsensymmetrisch zur y- Achse</span>''' ist.<br /></big> |
<br /> | <br /> | ||
| − | <ggb_applet width="580" height="463" version="4.2" ggbBase64=" | + | <ggb_applet width="580" height="463" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/> |
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | <popup name="Lösung"> | + | <big>Kannst du bereits Teile des Definitions-Lückentextes auf deinem Arbeitsblatt ausfüllen?<br /> |
| + | Wenn nicht, hilft dir diese Lösung weiter:<br /></big> | ||
| + | <br /> | ||
| + | <popup name="Lösung und Definition"> | ||
{| | {| | ||
| valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br /> | | valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br /> | ||
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*'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br /> | *'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br /> | ||
*'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | *'''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | ||
| + | *'''<span style="color: #EE1289 ">p: x -> cos(x)</span>'''<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | Alle Funktionen haben gemeinsam, dass | + | Alle ganzrationalen Funktionen haben gemeinsam, dass in ihrem Funktionsterm <br /> |
| − | '''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit geraden Exponenten</span>'''<br /> | + | '''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit <u>geraden</u> Exponenten</span>'''<br /> |
vorkommen.<br /> | vorkommen.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | Eine solche Funktion nennt man <br /> | + | Eine solche Funktion nennt man dementsprechend <br /> |
'''<colorize>gerade Funktion</colorize>'''.<br /> | '''<colorize>gerade Funktion</colorize>'''.<br /> | ||
|width="0,5%"| | |width="0,5%"| | ||
| − | | | + | | valign="top"|[[Datei:Achsensymmetrische Funktionen.png|300px]] |
|} | |} | ||
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<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | ''Woran liegt das?''<br /> | + | <big>''Woran liegt das?''<br /> |
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | '' | + | '''''Beweis:'''''<br /> |
| − | Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer '''h(x) = h(-x)''' für alle möglichen | + | Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer '''h(x) = h(-x)''' für alle möglichen x- Werte einer Funktion h gelten.<br /> |
Gibt es <span style="color: red">nur gerade Exponenten</span>, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br /> | Gibt es <span style="color: red">nur gerade Exponenten</span>, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br /> | ||
Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br /> | ||
| Zeile 110: | Zeile 113: | ||
= ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>8</sup> - 1<br /> | = ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>8</sup> - 1<br /> | ||
= x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1<br /> | = x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1<br /> | ||
| − | = h(x)<br /> | + | = h(x)<br /></big> |
<br /> | <br /> | ||
| − | Sobald <span style="color: #912CEE">auch ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm vorkommen | + | Sobald <span style="color: #912CEE">auch ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm vorkommen, sind deren Vorzeichen falsch und die Funktion ist nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: <br /> |
Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br /> | Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br /> | ||
k(-x)<br /> | k(-x)<br /> | ||
| Zeile 118: | Zeile 121: | ||
= (+x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>9</sup> - 1<br /> | = (+x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
= x<sup>12</sup> '''<span style="color: #912CEE ">+</span>''' 4x<sup>9</sup> - 1<br /> | = x<sup>12</sup> '''<span style="color: #912CEE ">+</span>''' 4x<sup>9</sup> - 1<br /> | ||
| − | ≠ k(x) | + | '''<span style="color: #912CEE">≠ k(x)</span>''' |
| + | </td></tr></table></center> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;"> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
| + | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
| + | === <big>Übung === | ||
| + | Ist die Funktion gerade oder nicht?<br /> | ||
| + | Ordne die Funktionsterme und Graphen der richtigen Seite zu.</big><br /> | ||
| + | |||
| + | <iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pdz3cq46c" style="border:0px;width:100%;height:900px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
Aktuelle Version vom 31. August 2013, 11:55 Uhr
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Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.
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AllgemeinKannst du jetzt eine allgemeine Regel herleiten? MERKE:
Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen; Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
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ÜbungIst die Funktion gerade oder nicht?
Manipulationen an Funktionen |
