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Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen

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| valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br />
 
| valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br />
 
*'''<span style="color: #EE7600 ">f: x -> x<sup>2</sup> + 1</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #EE7600 ">f: x -> x<sup>2</sup> + 1</span>'''<br />
−
*'''<span style="color: #00C5CD  ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br />
+
*'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
 
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Alle Funktionen haben gemeinsam, dass im Funktionsterm nur x- Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen.<br />
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Alle Funktionen haben gemeinsam, dass im Funktionsterm <br />
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Eine solche Funktion nennt man '''gerade Funktion'''.<br />
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'''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit geraden Exponenten</span>'''<br />
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vorkommen.<br />
 
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''Aber wieso dürfen nur gerade Exponenten auftauchen?''<br />
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Eine solche Funktion nennt man <br />
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'''<colorize>gerade Funktion</colorize>'''.<br />
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|width="0,5%"|
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| <ggb_applet width="450" height="530"  version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAAmpvEIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAAJqbxCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1YWW8jNxJ+dn5FoR+CzK4l8exjVprADjBIAE92sJ4NgjwsQHVTEmOpu9NN2VIwP23f9o9tkezW5RnDxwRZLGypmuxiHR+rikWNv92slnCrm9ZU5SSiQxKBLvOqMOV8Eq3tbJBG3775ajzX1VxPGwWzqlkpO4nEkEX7dTgaisQtNsUkmhJBZkSKgVKzYiBmBR9MKQ4ZUzzLtFZaJRHApjWvy+pHtdJtrXJ9nS/0Sl1VubJe5sLa+vVodHd3N+y1D6tmPprPp8NNW0SAlpftJOoeXqO4o0V33LMzQujo53dXQfzAlK1VZa4jcF6tzZuvzsZ3piyqO7gzhV2gL0kWwUKb+QLdjAUORo6pRl9rnVtzq1tcejD0PttVHXk2Vbr3Z+EJljt3IijMrSl0M4nIUNBE8lhyIUScxIJGUDVGl7bjpZ3OUS9tfGv0XRDrnrxGQTJE8da0ZrrUk2imli16ZcpZg4iiQc0ah63dLvVUNf14bw89xz9kML9rJwu3LsAwiRLOz2mcnCeEnEtJgi2HiiOwVbX0UgnIDD5+BEYYgXNHaCAMSRyHVyTMER4IC0QEIgOPCMtFYBWBRwQewR/wsxvvHe0mjjzt/eSHflL0z31i/HgATvxMD/ykzomPQJ31nnBwdlNvvyOiG8ZhmHhCSSC0e5m6L49X/EKP+LM8ogdaQzx8Xum9eNnFinyCRvYiP3desk95yeRnvHwhuL1Seugo6vL//nNPJX+Sn5+F9gkaY/GS3H+GwoQcpX2f84HSjj4Ewxczajzqq+G4MwjahePtQtrqVetM5JkvTkBBYvLGCdYSCTRDkrgkZkAlCIlDmkLsaALc5a0ADik4PsrBlyCZ4pfwOR2DRFluMgnJDVyA5EB94RKAKIAvfogJ48ghJUhc5LRTp5bHIGIc8BQEGujKXuJKC8d1OEblDDgF7tbSBFgMMYPElU4qXEWNU2c7CmUQE4jdUqydWDdDzcQVKXDnDWZBXbVmB+5CL+vdrngcTVmvbYddN5+vih5HW52wF1V+c3kCtlat7Z+RCU+s/bkYTrCjY/NsvFRTvcTm4trFAcCtWro09/JnVWmhj4E0zM0bVS9M3l5ra3FVC7+qW3WlrN68Re62N9Cr9qf5WK/zpSmMKn/CIHEinEDYHe4utvrDXRIWtORV1RTX2xYjBza/6KbCisPEMBFpnKaZ5Ikr7BFsu1cJdjoJi4VgCWUZwXOizZULeSmGPBOSZoQzmZIsk7jok+8o7VTr251raqPbHst543KuQ98Nfmgvq+V+qq5Mab9TtV03vlPDStk4py7K+VJ7bH3txZ4nv5lWm+sAKg+yPmxrHJFgwHT+XbWsGsCMZBLtnXd0GqjncZbtuIjnIZ6D9Ltkit17mjHP4ek0UM+F2x5M6zylvZuU9GpM62sNCj8MMh8zroNal8Ze9QNr8pvOUxr4f1yvphhu3bJjkfQLiRyPTgJsfKObUi9DGJW4k+tq3Ya43sXm2Xjd6vfKLi7K4h96jhn5XrmiaFF0YN1bXOjcrHBhmO+gU25b/4mmhtlCzxvde7j0rXEA1r8lh0F9b9qLettUqx/K2w8YMyemjke9P+M2b0ztQhOmWKVv9D76CtMqrPHF4Tp0vkUvcldvEEjrQLzUpq2NRgtm//l3AypftLpstyv0vDEtBie8XZc3boUuI1Bru6gwgN5tG6NWcIWWoirMdYQhhXfKYG3FEHY5vqkb3bqrR9hIQEOwFm1cwfpm8womsPnXN+wV/BWotw0tWGF3DdYH/mxdeit3UTDznbvbbqimv2KxOomS/ebg63vZQlnS5QKoZb1Qrr/vsF6qrW6O0PcS/z6btdrCZhLh5WKLycsPXr6riuMNm5mNLk6jZJ9LFsvjDd4SMEaxRNkutf3D96YotC/+IXADCp/Gb97hNw/4DRBA4QDkjwFw/iwAQyGhku+KzdMBHDDuIRzE2Z+P4aLDcLGLQUpewQA7jb+4QeqeHxWQixfgidelZ4fjgP5vxOMk+qA3lnZwfv3burJ/2wTyCfiwGbDR8cKH4Tuoy/fxI09E73H4tFY19r07tMEBzYcpY5Il0l11eZJkcYhiMuQp51nCMpFJQaTE+d/DzzKPgowdQbZ9PGTseZAl8gAzyv9g1Bw8MScxz7BzS1kmsUt0sIlhivMpFUks8Jt+DrO8Wq1UWUDp7yNebrTvgxWZRNsL7Bc6N9e2n70Igrrl98D0vdgOqYv7SPZXzIeSl7L+NJFPLof3wFQlthD+IMaWtnYCXDtTax0aoWA2PtQo0LePB9vr24bWwe3U+qgU7mEP6dnYe+x6yqP+PcyeNBxfAv/Lp+B/+f+HPx9KEac0JlkSS8LT7A/YjSss4CebcYEA0A79o/1QD++HOwt2aKs/u7Ds8cTyISSnKc8I4yKLKaXSA0y6+N7LfvJphhe538qwpA0XCLOqlyY39hT20WGj7K+t3Y/bb/4LUEsHCBgroVs0BwAAjBcAAFBLAQIUABQACAAIAAmpvEJFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgACam8QhgroVs0BwAAjBcAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADMBwAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
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|}
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</popup>
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''Woran liegt das?''<br />
 
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''Antwort:''<br />
 
''Antwort:''<br />
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Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein.<br />
+
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer '''h(x) = h(-x)''' für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein.<br />
−
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br />
+
Gibt es <span style="color: red">nur gerade Exponenten</span>, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br />
 
Z. B.: '''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
 
Z. B.: '''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
 
h(-x) <br />
 
h(-x) <br />
−
= (-x)<sup>12</sup> - 4 (-x)<sup>8</sup> - 1<br />
+
= ('''<span style="color: red">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: red">12</span>'''</sup> - 4 ('''<span style="color: red">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: red">8</span>'''</sup> - 1<br />
−
= (+x)<sup>12</sup> - 4 (+x)<sup>8</sup> - 1<br />
+
= ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>8</sup> - 1<br />
 +
= x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1<br />
 
= h(x)<br />
 
= h(x)<br />
 
<br />
 
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−
Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: <br />
+
Sobald <span style="color: #912CEE">auch ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: <br />
−
Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>9</sup> - 1<br />
+
Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br />
 
k(-x)<br />
 
k(-x)<br />
−
= (-x)<sup>12</sup> - 4(-x)<sup>9</sup> - 1<br />
+
= (-x)<sup>12</sup> - 4('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br />
−
= (+x)<sup>12</sup> - 4 (-x)<sup>9</sup> - 1<br />
+
= (+x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>9</sup> - 1<br />
−
= x<sup>12</sup> '''+''' 4x<sup>9</sup> - 1<br />
+
= x<sup>12</sup> '''<span style="color: #912CEE ">+</span>''' 4x<sup>9</sup> - 1<br />
 
≠ k(x)
 
≠ k(x)
−
 
−
|width="1%"|
 
−
 
−
| <ggb_applet width="450" height="530"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
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Version vom 7. Juni 2013, 18:21 Uhr


Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.

Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
Was fällt dir auf?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Welche Funktion wird hier abgebildet?




Allgemein

Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,

so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x)

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.




Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?

Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?




Woran liegt das?


Antwort:
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein.
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben:
Z. B.: h: x -> x12 - 4x8 - 1
h(-x)
= (-x)12 - 4 (-x)8 - 1
= (+x)12 - 4 (+x)8 - 1
= x12 - 4x8 - 1
= h(x)

Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse:
Z. B.: k(x) = x12 - 4x9 - 1
k(-x)
= (-x)12 - 4(-x)9 - 1
= (+x)12 - 4 (-x)9 - 1
= x12 + 4x9 - 1
≠ k(x)

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Manipulationen an Funktionen

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