Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 10. Juni 2013, 12:35 Uhr
Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.
Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
Was fällt dir auf?
Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Welche Funktion wird hier abgebildet?
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Allgemein
Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x)
Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.
Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?
Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?
Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion f(x) gegeben, die du noch verändern kannst.
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.
Stelle die Parameter a, b, c, d, e so ein, dass f achsensymmetrisch zur y- Achse ist.
Woran liegt das?
Antwort:
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen Funktionswerte einer Funktion h gegeben sein.
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben:
Z. B.: h: x -> x12 - 4x8 - 1
h(-x)
= (-x)12 - 4 (-x)8 - 1
= (+x)12 - 4 (+x)8 - 1
= x12 - 4x8 - 1
= h(x)
Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse:
Z. B.: k(x) = x12 - 4x9 - 1
k(-x)
= (-x)12 - 4(-x)9 - 1
= (+x)12 - 4 (-x)9 - 1
= x12 + 4x9 - 1
≠ k(x)
Manipulationen an Funktionen
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