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Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen

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*Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen.
 
*Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen.
 
*Es gibt aber auch die Möglichkeit Objekte direkt zu spiegeln:  
 
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| valign="top"|<big>Spiegle die Punkte '''<span style="color: #008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>'''.<br />
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Version vom 30. Juni 2013, 16:57 Uhr


Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.

Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
Was fällt dir auf?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Welche Funktion wird hier abgebildet?




Allgemein

Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x).

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df:
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.




Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?

Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?

Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion f(x) gegeben, die du noch verändern kannst.
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.
Stelle die Parameter a, b, c, d, e so ein, dass f achsensymmetrisch zur y- Achse ist.





Woran liegt das?


Antwort:
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen x- Werte einer Funktion h gegeben sein.
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben:
Z. B.: h: x -> x12 - 4x8 - 1
h(-x)
= (-x)12 - 4 (-x)8 - 1
= (+x)12 - 4 (+x)8 - 1
= x12 - 4x8 - 1
= h(x)

Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen würden, wären deren Vorzeichen falsch und die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse:
Z. B.: k(x) = x12 - 4x9 - 1
k(-x)
= (-x)12 - 4(-x)9 - 1
= (+x)12 - 4 (-x)9 - 1
= x12 + 4x9 - 1
≠ k(x)


Übung

Ist die Funktion gerade oder nicht?
Ordne die Funktionsterme und Graphen der richtigen Seite zu.



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Manipulationen an Funktionen

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