Achsensymmetrie zur y- Achse: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 15. Juli 2013, 17:33 Uhr

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E an der y- Achse.

Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.
Was fällt dir auf?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Welche Funktion wird hier abgebildet?

Hilfe zu GeoGebra anzeigen

Übertrage die gespiegelten Punkte und den daraus entstandenen Funktionsgraphen auf dein Arbeitsblatt.
Fülle den Lückentext aus und setze die kontrollierten Antworten auf deinem Arbeitsblatt richtig ein.

Allgemein

Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y- Achse,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den gleichen Funktionswert.
Es gilt also: f (x) = f (-x).

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge D_f für alle x ∈ D_f:
f (x) = f (-x),
dann verläuft der Graph von f achsensymmetrisch zur y- Achse.

Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;
also eine Funktion, deren Graph sich nicht verändert, wenn er an der y- Achse gespiegelt wird?

Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?
Worauf kommt es im Funktionsterm an?

Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion f(x) gegeben, die du noch verändern kannst.
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.
Stelle die Parameter a, b, c, d, e so ein, dass f achsensymmetrisch zur y- Achse ist.

Lösung und Definition anzeigen

Woran liegt das?

Antwort:
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer h(x) = h(-x) für alle möglichen x- Werte einer Funktion h gelten.
Gibt es nur gerade Exponenten, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben:
Z. B.: h: x -> x¹² - 4x⁸ - 1
h(-x)
= (-x)¹² - 4 (-x)⁸ - 1
= (+x)¹² - 4 (+x)⁸ - 1
= x¹² - 4x⁸ - 1
= h(x)

Sobald auch ungerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen, sind deren Vorzeichen falsch und die Funktion ist nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse:
Z. B.: k(x) = x¹² - 4x⁹ - 1
k(-x)
= (-x)¹² - 4(-x)⁹ - 1
= (+x)¹² - 4 (-x)⁹ - 1
= x¹² + 4x⁹ - 1
≠ k(x)

Übung

Ist die Funktion gerade oder nicht?
Ordne die Funktionsterme und Graphen der richtigen Seite zu.

Zurück zur Symmetrie von Funktionsgraphen

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Manipulationen an Funktionen

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 | valign="top"|<ggb_applet width="581" height="477"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/>
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+<big>Übertrage die gespiegelten Punkte und den daraus entstandenen Funktionsgraphen auf dein Arbeitsblatt.<br />
+Fülle den Lückentext aus und setze die kontrollierten Antworten auf deinem Arbeitsblatt richtig ein.</big><br />
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-<popup name="Lösung">
+<popup name="Lösung und Definition">
 {|
 | valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br />

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