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Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

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Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.<br />
 
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.<br />
 
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Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter und damit den Funktionsterm und Graphen von '''f''' verändern.<br />
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Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter '''<span style="color: red">a</span>''', '''<span style="color: #00BFFF ">b</span>''', '''<span style="color: #76EE00 ">c</span>''', '''<span style="color: orange">d</span>''', '''<span style="color: #EE00EE">e</span>''' und damit den Funktionsterm und Graphen von '''f''' verändern.<br />
 
Stelle sie so ein, dass '''f''' '''<span style="color: #551A8B ">punktsymmetrisch zum Ursprung</span>''' verläuft.<br />
 
Stelle sie so ein, dass '''f''' '''<span style="color: #551A8B ">punktsymmetrisch zum Ursprung</span>''' verläuft.<br />
 
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Es dürfen <span style="color: red">nur ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
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Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
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Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br />
 
Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br />
 
'''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br />
 
'''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br />
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''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
 
''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
 
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss  für alle x- Werte gelten.<br />
 
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss  für alle x- Werte gelten.<br />
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Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen, ergeben:<br />
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Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.<br />
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Z. B.: f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup><br />
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Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen im Term um:<br />
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Z. B.: f (x) = -x<sup><span style="color: red">5</span></sup> + x<sup><span style="color: red">3</span></sup><br />
 
f (-x) <br />
 
f (-x) <br />
 
= - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br />
 
= - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br />
 
= '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br />
 
= '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br />
 
= - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
 
= - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
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= - f (x)<br />
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= '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br />
 
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Version vom 7. Juni 2013, 20:55 Uhr


Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:


Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.
Was fällt dir auf?
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Um welche Funktion handelt es sich hier?




Allgemein

Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.



Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen?
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.

Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter a, b, c, d, e und damit den Funktionsterm und Graphen von f verändern.
Stelle sie so ein, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.






Auch das lässt sich rechnerisch erklären:
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten.
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.
Nur wenn jeder Exponent ungerade ist, dreht sich jedes Vorzeichen im Term um:
Z. B.: f (x) = -x5 + x3
f (-x)
= - (-x)5 + (-x)3
= +x5 - x3
= - ( -x5 + x3)
= - f (x)


Bereits ein gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen.
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.



Übung




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Manipulationen an Funktionen

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