Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Juni 2013, 17:20 Uhr

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:

Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.
Was fällt dir auf?
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Um welche Funktion handelt es sich hier?

Hilfe zu GeoGebra anzeigen

Allgemein

Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge D_f für alle x ∈ D_f
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.

Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft?
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.

Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter a, b, c, d, e und damit den Funktionsterm und Graphen von f verändern.
Stelle sie so ein, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.

Lösung anzeigen

Auch das lässt sich rechnerisch erklären:
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten.
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.
Nur wenn jeder Exponent ungerade ist, dreht sich jedes Vorzeichen im Term um:
Z. B.: f (x) = -x⁵ + x³
f (-x)
= - (-x)⁵ + (-x)³
= +x⁵ - x³
= - ( -x⁵ + x³)
= - f (x)

Bereits ein gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen.
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Übung

Ist die Funktion gerade, ungerade oder weder/noch?
Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.

Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?

Zurück zur Achsensymmetrie zur y- Achse

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Manipulationen an Funktionen

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 <tr><td  width="800px" valign="top">
-{|
+<big>Spiegle die Punkte '''<span style="color:#008B00  ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' im Applet am '''<span style="color: #551A8B">Koordinatenursprung</span>''':<br />
-| valign="top" width="400"|Spiegle die Punkte '''<span style="color:#008B00  ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' im Applet am '''<span style="color: #551A8B">Koordinatenursprung</span>''':<br />
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 Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.<br />
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 Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br />
-Um welche Funktion handelt es sich hier?<br />
+Um welche Funktion handelt es sich hier?<br /></big>
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-<br />
+{|
-<popup name="Hilfe zu GeoGebra">
+| valign=top width="400"|<popup name="Hilfe zu GeoGebra">
 *Auch für die Punktspiegelung gibt es ein Symbol in der Werkzeugleiste: "Spiegle Objekt an Punkt"
 **Du kannst es unter dem Symbol für Achsenspiegelung auswählen.
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 |width="0,5%"|
-|<ggb_applet width="580" height="797"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
+|<ggb_applet width="580" height="797"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" useLocalJar="true"/>
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-<popup name="Lösung">
-*Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|-y):
-**Die x- Koordinate und die y- Koordinate wird jeweils mit -1 multipliziert.
-*Sind die x-Werte also gleich weit von der y- Achse entfernt, dann haben die Funktionswerte immer ein positives und ein negatives Vorzeichen.
-*Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f: x -> &frac12; x<sup>3</sup>.
-</popup>
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-<big>Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' verlaufen?<br />
+<big>Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' verläuft?<br />
 Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.<br />
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Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Juni 2013, 17:20 Uhr

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