Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. August 2013, 16:52 Uhr

Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:

Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.
Was fällt dir auf?
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Um welche Funktion handelt es sich hier?

Hilfe zu GeoGebra anzeigen

Zeichne den so entstandenen Funktionsgraphen auf deinem Arbeitsblatt ein und fülle die Lücken dort aus, nachdem du die Antworten mit dem folgenden Lückentext kontrolliert hast.

Allgemein

Wie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern?
Setze die richtigen Lücken ein und übertrage sie anschließend auf dein Arbeitsblatt.

Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge D_f für alle x ∈ D_f
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.

Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft?
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.

Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter a, b, c, d, e und damit den Funktionsterm und Graphen von f verändern.
Stelle sie so ein, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.

Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?
Kontrolliere dich mit der folgenden Lösung:

Lösung und Definition anzeigen

Auch das lässt sich rechnerisch erklären:
Beweis:
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.
Nur wenn jeder Exponent ungerade ist, dreht sich jedes Vorzeichen vor einem x um:
Z. B.: f (x) = -x⁵ + x³
f (-x)
= - (-x)⁵ + (-x)³
= +x⁵ - x³
= - ( -x⁵ + x³)
= - f (x)

Bereits ein gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen.
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Übung

Ist die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder/noch?
Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.

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Bildnachweis anzeigen

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Manipulationen an Funktionen

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 <tr><td  width="800px" valign="top">
-=== <big>Allgemein</big> ===
+=== <big>Allgemein ===
+Wie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern?<br />
+Setze die richtigen Lücken ein und übertrage sie anschließend auf dein Arbeitsblatt.<br /></big>
 <div class="lueckentext-quiz">
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 <center><ggb_applet width="580" height="463"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/></center>
 <br />
+<br />
+<big>Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?<br />
+Kontrolliere dich mit der folgenden Lösung:<br /></big>
 <br />
 <popup name="Lösung und Definition">
@@ Zeile 72: / Zeile 79: @@
-Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
+Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur x- Potenzen mit <u>ungeraden</u> Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
 <br />
-Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br />
+Eine ganzrationale Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br />
 '''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br />
 |width="1%"|
-|valign="top"|[[Datei:Punktsymmetrische Funktionen.png|300px]]
+|valign="top"|[[Datei:Punktsymmetrische Funktionen.png|380px]]
 |}
 </popup>
 <br />
 <br />
-''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
+<big>''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
+''Beweis:''<br />
 Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss  für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.<br />
 Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.<br />
-Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen im Term um:<br />
+Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen vor einem x um:<br />
-Z. B.: f (x) = -x<sup><span style="color: red">5</span></sup> + x<sup><span style="color: red">3</span></sup><br />
+Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br />
 f (-x) <br />
-= - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br />
+= - (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''5'''</span></sup> + (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''3'''</span></sup><br />
-= '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br />
+= '''<span style="color: red">+</span>'''x<sup>5</sup> '''<span style="color: red">-</span>''' x<sup>3</sup><br />
-= - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
+= '''<span style="color: red">-</span>''' ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
-= '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br />
+= '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br /></big>
 <br />
 <br />
 Bereits '''ein''' gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen. <br />
 In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
 </td></tr></table></center>
@@ Zeile 112: / Zeile 118: @@
 === <big>Übung ===
 <br />
-Ist die Funktion gerade, ungerade oder weder/noch?<br />
+Ist die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder/noch?<br />
 Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.<br />
 <br />
 Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?</big>
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+<br />
+<popup name="Bildnachweis">"Datei:Starfish.JPG" aus Wikimedia Commons (Autor: Achim Raschka)<br />
+http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Starfish.JPG#globalusage</popup>
 <br />
 <br />

Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

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