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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. | '''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. | ||
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+ | <popup name="Tipp">Hier sollst du Begriffspaare bilden. Das Paar soll aus einem Begriff zur mittleren Änderungsrate und einem Begriff zur lokalen Änderungsrate bestehen. Die Begriffe sollen inhaltlich zueinander passen, wie zum Beispiel das Begriffspaar Sekante (mittlere Änderungsrate) und Tangente (lokale Änderungsrate).</popup> | ||
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<popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup> | <popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup> | ||
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<popup name="Lösung">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2\cdot3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2\cdot5=10-10=0</math>.</popup> | <popup name="Lösung">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2\cdot3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2\cdot5=10-10=0</math>.</popup> | ||
− | '''c)''' Warum hat die oben genannte | + | '''c)''' Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn? |
− | <popup name="Lösung">Die angegebene | + | <popup name="Lösung">Die angegebene Funktion kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden an der Ampel stehen geblieben ist. Somit ist der Weg, der durch die genannte Funktion beschrieben wird, zu Ende.</popup> |
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{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| | {{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| | ||
− | Die Funktion <math>f(x) = -1/2 | + | Die Funktion <math>f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3</math> ist in der folgenden Abbildung dargestellt: |
[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]] | [[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]] | ||
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+ | [[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]] |
Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:59 Uhr
Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.
Viel Spaß beim Bearbeiten! :) |
Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels
Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.
Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet
Der Ausdruck wird auch Differenzenquotient genannt. |
Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet
Der Grenzwert von für h gegen 0 heißt Differenzialquotient. |
Sekante
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Tangente
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Berechnung der mittleren Änderungsrate
Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.
b) im Intervall c) im Intervall
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Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext
Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen. a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?
b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
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Unterscheidung der Änderungsraten
a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
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Änderungsraten im Sachzusammenhang
für a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
c) Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn? |
Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt ? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf . für x gegen 2. |
Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate
a) Was gibt die Variable ms an? b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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