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Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Karl Kirst verschob Seite Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung nach [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tan…)
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''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
 
''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
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''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5 ''<br/>
+
''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5* ''<br/>
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''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7, 8 und 9''<br/>
+
''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/>
  
  
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<popup name="Hinweis zu *">
 +
Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.
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</popup>
  
  
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===Aufgabe 1: Kannst du die Begriffe unterscheiden?===
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=== Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale===
−
 
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<br/>
−
''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale''
+
  
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{{Aufgaben|1|Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!}}
 
<br/>
 
<br/>
  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1s1zd2av17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1s1zd2av17" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 
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<br/>
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''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung''
 
  
−
===Aufgabe 2: Ordne die jeweilige Steigung den entsprechenden Punkten zu===
+
{{Aufgaben|2|In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.
 +
 
 +
''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.''}}
 +
 
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 +
<popup name="Hilfe"> Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?  </popup>
  
 
<br/>
 
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 +
{{Aufgaben|3|Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt.
  
−
===Aufgabe 3: Die Steigung der Tangente in einem x-Wert===
+
''Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.''}}
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf4ayrb5j17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
 
 +
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf4ayrb5j17" style="border:0px;width:100%;height:750px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br/>
  
−
<br/>
 
 
<br/>
 
<br/>
  
 +
{{Aufgaben|4|Wahr oder Falsch?}}
  
−
===Aufgabe 4: Wahr oder Falsch?===
 
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psc1spdk517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psc1spdk517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<br/>
  
−
===Aufgabe 5: Memory. Wie fit bist du beim Behalten von Graphen und einer Steigung in einem Punkt?===
+
{{Aufgaben|5|Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/>
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pc4i8dmsj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
Kannst du ihm helfen? <br/>
 +
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. }}
  
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+
'''Teil 1)'''
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<br/>
+
  
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+
<iframe scrolling="no" title="Tangentensteigung beim Sinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtyjMzaR/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
  
−
''c) Untersuchung einer Funktion''
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1mo3ok0v17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
−
<br/>  
+
  
−
===Aufgabe 6: Steigung und Koordinaten ablesen===
 
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=piymfh66317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
  
−
<br/>
 
−
<br/>
 
  
−
===Aufgabe 7: Raupenfahrt ===
+
'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
−
<popup name="Lösung"> Die Steigfähigkeit der Raupe liegt mit 76% über der Steigung von 75%. </popup>
+
  
  
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<br/>
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<popup name="Lösung Teil 2">  
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1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/>
  
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+
2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/>
  
−
===Aufgabe 8: Muss es in jedem Punkt einer Funktion eine Tangente geben?!===
+
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/>
  
−
Klicke gleich auf den nebenstehenden Link, um Geogebra zu öffnen. [[https://www.geogebra.org/graphing Geogebra]] <br/>
+
4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. <br/>
−
<br/>
+
</popup>
  
−
Gebe folgende Funktion ein:  
+
<popup name="Begründung 1)"> Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden.  </popup>
−
f(x) = <math>\sqrt{1-x^2}</math>
+
<popup name="Begründung 2)"> Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich.  </popup>
 +
<popup name="Begründung 3)"> Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung, <br/>
 +
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.  </popup>
 +
<popup name="Begründung 4)"> Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant.  </popup>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
  
−
Du siehst dann einen Halbkreis. Überlege kurz, warum die Funktion nur im Intervall von [-1,1] definiert ist.
+
===c) Untersuchung einer Funktion===
  
 
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−
a) An welchen Punkten kannst du eine Tangente anlegen?
+
{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}}
−
An welchen Punkten ergibt es keinen Sinn eine Tangente anzulegen und warum?
+
 
−
<popup name="Tipp zu a)">Benutze die h-Methode für einen Punkt, an dem eine Tangente nicht möglich ist.
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=piymfh66317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
−
Benutze den Differentialquotienten.  </popup>
+
 
 +
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
  
−
b) Welche Schlussfolgerung kannst du ziehen, wenn an einer Funktion bereits an einer Stelle keine Tangente angelegt werden kann?
+
 
 +
{{Aufgaben|7|Raupenfahrt }}
 +
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. <br/>
 +
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.<br/>
 +
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?
 +
 
 +
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 +
<popup name="Lösung"> Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen.
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Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
 +
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe. </popup>
  
  
Zeile 100: Zeile 111:
 
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<br/>
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<popup name="Lösung a)"> An fast allen Punkten im Intevall [-1,1] können Tangenten angelegt werden.
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{{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! <br/>
−
Die Ausnahmen bilden die Punkte P(-1|0) und Q(1|0). Wir wollen euch dies im Punkt Q einmal exemplarisch zeigen.  
+
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. <br/>
 +
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." <br/>
 +
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"}}
 +
 
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:::[[Datei:H-Methode.jpg|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
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'''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/>
 +
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?  <br/>
 +
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).  
  
 
<br/>
 
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Ihr seht, dass der für h gegen 0 der Zähler gegen 2 und der Nenner gegen 0 geht.
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<br/>
−
Es existiert kein fester Grenzwert, da es gegen unendlich läuft.
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</popup>
+
  
 +
<iframe scrolling="no" title="Eine Tangente?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SM67Ex9h/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>
 +
<br/>
  
−
<popup name="Lösung b)"> Wenn eine Funktion, wie hier in diesem Beispiel, bereits in einem Punkt keine Tangente ausweisen kann, ist sie nicht differenzierbar. <br/>
 
−
Eine Tangente repräsentiert eine lineare Funktion. Die Steigung einer linearen Funktion muss eine reelle Zahl sein, ansonsten ist die lineare Funkion nicht definiert.
 
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</popup>
 
  
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<popup name="Hinweis zu a)">
  
 +
Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?
  
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<popup name="Hinweis a)">
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Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/>
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Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>
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</popup>
  
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−
=== Aufgabe 9: Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!===
+
<popup name="Lösung a)">
  
 +
Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist.
 +
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/>
 +
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
 
<br/>
 
<br/>
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:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
  
−
Klicke gleich auf den nebenstehenden Link. [[https://www.geogebra.org/graphing Geogebra]] <br/>
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</popup>
  
−
Verbinde mit Hilfe einer Strecke die Punkte (0|0), (6|6); (6|6), (16|6). <br/>
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<br/>
−
 
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−
a) Welche Tangente(n) würdest du im Punkt P(6|6) einzeichnen? <br/>
+
 
<br/>
 
<br/>
  
−
b) Zeichne zu den jeweiligen Intervallen ([0;6] und [6;16]) die Steigung ein.  
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'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.  
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Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?  
+
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?
  
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<br/>
  
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<popup name="Lösung a)">  
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<popup name="Lösung b)">  
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Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. <br/>
 +
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war. <br/>
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Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.
  
−
Im Punkt P(6|6) gibt es keine eindeutige Tangente. Je nachdem ob man die Steigung von links oder von rechts betrachte, erhält man eine andere, wie im Graph zu sehen ist.
 
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:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
 
  
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</popup>
+
<iframe scrolling="no" title="Tangente(n) Punkt P(6|6)?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UbVMmQJr/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>
  
  
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<popup name="Lösung b)">
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</popup>
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Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;16] linear. Jedoch gibt es
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im Punkt P(6|6) einen Sprung. Hier ist die neue Funktion also nicht zusammenhängend (Sprungstelle) und daher auch nicht differenzierbar.
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:::[[Datei:Lösung2.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
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{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2017, 19:01 Uhr

Inhaltsübersicht

a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1
b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5*
c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*



Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale


Stift.gif   Aufgabe 1

Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!





Stift.gif   Aufgabe 2

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.

Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.



Stift.gif   Aufgabe 3

Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt.

Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.



Stift.gif   Aufgabe 4

Wahr oder Falsch?



Stift.gif   Aufgabe 5

Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören.
Kannst du ihm helfen?
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt.

Teil 1)


Teil 2) Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.




c) Untersuchung einer Funktion


Stift.gif   Aufgabe 6

Steigung und Koordinaten ablesen




Stift.gif   Aufgabe 7

Raupenfahrt

Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf.
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?





Stift.gif   Aufgabe 8*

Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an.
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten."
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"



a) Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum?
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).








b) Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?



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