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Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen

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== Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?  ==
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<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #C0FF3E; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;">
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{{Aufgabe|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pfyusdtr317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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<center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
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<tr><td  width="300px" valign="top">
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Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.
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:* '''Aufgabe 1''' bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen.
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:* In '''Aufgabe 2 und 3''' kannst du dein erlerntes Wissen in einem Sachkontext anwenden. '''Aufgabe 2''' konzentriert sich auf den Differenzenquotienten. Falls du die inhaltliche Deutung und die Anwendung des Differenzenquotienten bereits beherrschst, gehe direkt zu '''Aufgabe 3'''. Dort kannst du nach einer kurzen Aufgabe zum Differenzenquotieten direkt mit dem Differenzialquotienten starten.
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:* Wenn du eine Herausforderung suchst, beschäftige dich mit '''Aufgabe 4'''. Zuvor solltest du jedoch deine Grundkenntnisse in Aufgabe 1, 2 und 3 gefestigt haben. <br />
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Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)
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</td></tr></table></center>
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== Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?  ==
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{{Aufgaben|1a)|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pfyusdtr317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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{{Aufgaben|1b)|Übertrage die zugeordneten Formeln und Aussagen auf einem Zettel, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle.
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(Die Bilder musst du nicht übertragen, außer sie unterstützen dich beim Lernen.)  }}
  
 
==Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin==
 
==Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin==
 
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten.  <br />
 
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten.  <br />
 
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:  
 
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:  
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::: [[Datei:Fernbus Bild.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
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::: [[Datei:Fernbus Bild.png|rahmenlos|1500px|Fläche 1]]
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{{Aufgaben|2a)|Schau dir die obere Abbildung genau an. Finde eine passende Ordnung für die unten stehenden Kärtchen, indem du sie auf die passenden grünen Felder ziehst.}}
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{{Aufgaben|2a)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2x0c1b5t17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<div class="lueckentext-quiz">  
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{|
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|  || '''Städte''' || '''Münster''' || '''Osnabrück''' || '''Bad Oeynhausen''' || '''Hannover''' || '''Berlin'''
+
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|-
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| x || '''Zeit in min''' || '''0''' || '''65''' || '''45''' || '''70''' || '''210'''
+
−
|-
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| f(x) || '''Weg in km''' || '''0''' || '''69''' || '''58''' || '''80''' || '''276'''
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|}
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</div>
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Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
<popup name="Hilfe">
 
<popup name="Hilfe">
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Überlege dir, welche Werte der x- und welche der y-Achse zugeordnet werden können.
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Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an.  
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</popup>
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</popup> }}
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{{Aufgaben|2b)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puy7t0bzj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
 
{{Aufgaben|2b)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puy7t0bzj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
  
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{{Aufgaben|2c)|Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit gewählt? Stelle eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate auf und notiere sie in deinem
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{{Aufgaben|2c)|Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses gewählt? <br />
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Kannst du nun eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate in einem beliebigen Sachkontext aufstellen? <br />
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Notiere diese auf einem Zettel.
  
  
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Vergleiche deine Lösung hier:  
 
Vergleiche deine Lösung hier:  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben.
 
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden:  <br />
 
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden:  <br />
 
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>
 
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>
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}}
 
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==Ein Besuch im Zoologischen Garten==
 
  
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Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen an, die zuvor ermittelt wurden. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].
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==Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten==
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Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].
  
 
::: [[Datei: Besucher Zoo Graph.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
 
::: [[Datei: Besucher Zoo Graph.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
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{{Aufgabe|}}
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{{Aufgaben|3a)|
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq8bxyutv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq8bxyutv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
  
  
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{{Aufgabe|In welchem Zeitraum nimmt die Besucherzahl ab bzw. zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung in deinen Ordner.
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{{Aufgaben|3b)|In welchen Zeitintervallen nimmt die Besucherzahl ab? In welchen Zeitintervallen nimmt sie zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.
  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
<popup name="Hilfe">
 
<popup name="Hilfe">
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Überlege dir, wo der Graph fällt und steigt.
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Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt.
 
</popup>
 
</popup>
  
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</popup>
 
</popup>
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}}
  
  
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Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf diese Art und Weise verändert. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.
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{{Aufgaben|3c)|Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf die Art und Weise verändert, wie du sie in 3b) bestimmt hast. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.
  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
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</popup>
 
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}}
 
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{{Aufgabe|In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.
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{{Aufgaben|3d)|In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.
  
  
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Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung in deinen Ordner.
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Aufgabenteil 1: Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung auf einem Zettel.
  
 
Vergleiche deine Lösung hier:  
 
Vergleiche deine Lösung hier:  
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Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.
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Aufgabenteil 2: Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.
  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
 
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
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</popup>
 
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}}
 
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{{Aufgabe|}}
 
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1wzdxb5k17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
  
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==Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten==
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{{Aufgaben|3e)|
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1wzdxb5k17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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==Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten==
  
 
{{Aufgabe|Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt.  
 
{{Aufgabe|Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt.  
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2017, 17:59 Uhr

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.

  • Aufgabe 1 bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen.
  • In Aufgabe 2 und 3 kannst du dein erlerntes Wissen in einem Sachkontext anwenden. Aufgabe 2 konzentriert sich auf den Differenzenquotienten. Falls du die inhaltliche Deutung und die Anwendung des Differenzenquotienten bereits beherrschst, gehe direkt zu Aufgabe 3. Dort kannst du nach einer kurzen Aufgabe zum Differenzenquotieten direkt mit dem Differenzialquotienten starten.
  • Wenn du eine Herausforderung suchst, beschäftige dich mit Aufgabe 4. Zuvor solltest du jedoch deine Grundkenntnisse in Aufgabe 1, 2 und 3 gefestigt haben.

Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)


Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?

Stift.gif   Aufgabe 1a)


Stift.gif   Aufgabe 1b)

Übertrage die zugeordneten Formeln und Aussagen auf einem Zettel, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle. (Die Bilder musst du nicht übertragen, außer sie unterstützen dich beim Lernen.)

Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin

Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten.
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:

Fläche 1
Stift.gif   Aufgabe 2a)

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:



Stift.gif   Aufgabe 2b)


Stift.gif   Aufgabe 2c)

Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses gewählt?
Kannst du nun eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate in einem beliebigen Sachkontext aufstellen?
Notiere diese auf einem Zettel.


Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:


Vergleiche deine Lösung hier:



Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten

Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].

Fläche 1


Die folgende Wertetabellle gibt die genauen Daten an:

Zeit in Stunden nach Öffnung des Zoos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,6
Anzahl der Besucher 0 600 950 1200 1308 1249 1100 1000 1050 1151 837 0


Stift.gif   Aufgabe 3a)


Stift.gif   Aufgabe 3b)

In welchen Zeitintervallen nimmt die Besucherzahl ab? In welchen Zeitintervallen nimmt sie zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:

Vergleiche deine Lösung hier:


Stift.gif   Aufgabe 3c)

Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf die Art und Weise verändert, wie du sie in 3b) bestimmt hast. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:

Vergleiche deine Lösung hier:


Stift.gif   Aufgabe 3d)

In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.



Aufgabenteil 1: Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Vergleiche deine Lösung hier:


Aufgabenteil 2: Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:

Vergleiche deine Lösung hier:


Stift.gif   Aufgabe 3e)


Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten

Stift.gif   Aufgabe

Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt. Die folgende Grafik verdeutlicht genau diese Vorgehensweise.

Nach Vorlage von: Gert Linhofer, Andreas Lindner

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