Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Aufgabe 3:

Aufgabe 4:

Aufgabe 5:

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Die Steigfähigkeit der Raupe liegt mit 76% über der Steigung von 75%.

Aufgabe 6:

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Aufgabe 7:

Klicke gleich auf den nebenstehenden Link, um Geogebra zu öffnen. [Geogebra]

Gebe folgende Funktion ein: f(x) = $\sqrt{1-x^2}$

Du siehst dann einen Halbkreis. Überlege kurz, warum die Funktion nur im Intervall von [-1,1] definiert ist.

a) An welchen Punkten kannst du eine Tangente anlegen? An welchen Punkten ergibt es keinen Sinn eine Tangente anzulegen und warum?

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Benutze die h-Methode für einen Punkt, an dem eine Tangente nicht möglich ist. Benutze den Differentialquotienten.

b) Welche Schlussfolgerung kannst du ziehen, wenn an einer Funktion bereits an einer Stelle keine Tangente angelegt werden kann?

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An fast allen Punkten im Intevall [-1,1] können Tangenten angelegt werden.

Die Ausnahmen bilden die Punkte (-1/0) und (1/0).

h-Methode in einem Punkt

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Wenn eine Funktion, wie hier in diesem Beispiel, bereits in einem Punkt keine Tangente ausweisen kann, ist sie nicht differenzierbar.

Eine Tangente repräsentiert eine lineare Funktion. Die Steigung einer linearen Funktion muss eine reelle Zahl sein, ansonsten ist die lineare Funkion nicht definiert.

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Aufgabe 8:

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Verbinde mit Hilfe einer Strecke die Punkte (0|0), (6|6); (6|6), (16|6).

a) Welche Tangente(n) würdest du im Punkt P(6|6) einzeichnen?

b) Zeichne zu den jeweiligen Intervallen ([0;6] und [6;16]) die Steigung ein. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?

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Zwei Tangenten in einem Punkt.

Im Punkt P(6|6) gibt es keine eindeutige Tangente. Je nachdem ob man die Steigung von links oder von rechts betrachte, erhält man eine andere, wie im Graph zu sehen ist.

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Geschwindigkeit einzeichnen

Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;16] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. Hier ist der Graph also nicht stetig und daher auch nicht differenzierbar.