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| − | == | + | ==Über mich== |
| + | *Seminar: [[Digitale Werkzeuge in der Schule|Wikiprojekt zu dem Seminar "DiWerS]] | ||
| + | *Projekt: [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Trainingsfeld_Ableitungen|Trainingsfeld Ableitungen]] | ||
| + | *betreut von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] | ||
| + | ==Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate== | ||
| − | + | {{Aufgaben|3: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate| <math>f(x) = -1/2*(x-1)^2+3</math> | |
| − | + | '''a)''' Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt: | |
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| + | <iframe scrolling="no" title="Graph der Funktion" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kpxhhjdq/width/800/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| − | + | In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. | |
| − | + | [[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|links|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]] | |
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| + | '''1)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. | ||
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| + | '''2)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. | ||
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| + | <popup name="Tipp zu 3a.2)">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup> | ||
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| + | '''3)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>. | ||
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| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdbfw1aq318" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
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| + | <popup name="Tipp zu 3a.3) zum Lückentext">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup> | ||
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| + | <popup name="Lösung zu 1)">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup> | ||
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| + | <popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man 0/0 rechnen. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup> | ||
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| + | <popup name="Lösung zu 3)"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differentialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten <math> \lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.</popup> | ||
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| + | '''b)''' (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. | ||
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| + | <iframe scrolling="no" title="Zusammenhang von Differential- und Differenzenquotient diff" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h7hjqw9y/width/800/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
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| + | <popup name="Tipp zur Abbildung">Δx = x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub></popup> | ||
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| + | 1) Was gibt die Variable k<sub>s</sub> an? | ||
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| + | 2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus. | ||
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| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
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| + | <popup name="Tipp zu b.2) Sekante">Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.</popup> | ||
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| + | <popup name="Tipp zu b.2) Tangente">Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.</popup> | ||
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| + | <popup name="Tipp zu b.2)"><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe></popup> | ||
| + | <popup name="Lösung zu b.1)"> k<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante an.</popup> | ||
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| + | <popup name="Lösung zu b.2)"> 1) 3,25 | ||
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| + | 2)1,3 | ||
| + | |||
| + | 3)Sekante | ||
| + | |||
| + | 4)sinkt | ||
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| + | 5)die Steigung der Funktion im Punkt <math>x_0</math> | ||
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| + | 6)dem Differentialquotienten | ||
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| + | 7)0,8</popup>}} | ||
Aktuelle Version vom 12. Januar 2019, 23:50 Uhr
Über mich
- Seminar: Wikiprojekt zu dem Seminar "DiWerS
- Projekt: Trainingsfeld Ableitungen
- betreut von: Elena Jedtke
Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate
 Aufgabe 3: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate
a) Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet, die du auch in der obigen Graphik ablesen kannst. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt 
1) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. 2) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. 3) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf
b) (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
1) Was gibt die Variable ks an? 2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
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