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| − | ===Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten===
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| − | {{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
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| − | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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| − | <popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
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| − | Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte.
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| − | [[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|200px]]</popup>
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| − | <popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt <math>Q(x_0+h|f(x_0+h))</math> auf den Punkt P <math>P(x_0|f(x_0))</math> zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in <math>x_0</math>.</popup>
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| − | {{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}}
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| − | <popup name="Lösung"
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| − | >{| class="wikitable"
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| − | ! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate
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| − | | Sekante || Tangente
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| − | | <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> || <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>
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| − | |-
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| − | | die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
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| − | | die durchschnittliche Steigung || die Ableitung an der Stelle x<sub>0</sub>
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| − | | die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
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| − | </popup>
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| − | {{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
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| − | ''<math>s(t)=10t+t^2</math>'' für <math>t\in [0;5]</math>
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| − | '''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
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| − | '''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.
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| − | '''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?
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| − | }}
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| − | <popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
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| − | <popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
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| − | <popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
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| − | <popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>
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