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(→Unterscheidung der Änderungsraten) |
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==Unterscheidung der Änderungsraten== | ==Unterscheidung der Änderungsraten== | ||
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− | '''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur | + | '''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht. |
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
− | <popup name="Tipp: | + | <popup name="Tipp: Mittlere Änderungsrate">Die Formel <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an. |
Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>). | Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>). | ||
[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup> | [[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup> | ||
− | <popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Die Formel →<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup> | + | <popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Die Formel → <math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup> |
− | '''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur | + | '''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. |
<popup name="Lösung" | <popup name="Lösung" | ||
>{| class="wikitable" | >{| class="wikitable" | ||
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− | ! mittlere Änderungsrate !! | + | ! mittlere Änderungsrate !! lokale Änderungsrate |
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| Sekante || Tangente | | Sekante || Tangente | ||
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}} | }} | ||
− | {{Aufgaben| | + | ==Änderungsraten im Sachzusammenhang== |
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+ | {{Aufgaben|4: Änderungsraten im Sachzusammenhang| | ||
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt: | Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt: | ||
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'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | '''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. | ||
− | <popup name="Tipp | + | <popup name="Tipp">Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit.</popup> |
− | <popup name="Tipp | + | <popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup> |
'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. | '''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. | ||
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<popup name="Lösung a)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10*3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10*5-5^2=50-25=25</math>.</popup> | <popup name="Lösung a)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10*3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10*5-5^2=50-25=25</math>.</popup> | ||
− | <popup name="Lösung b)">Die | + | <popup name="Lösung b)">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2*3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2*5=10-10=0</math>.</popup> |
<popup name="Lösung c)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup> | <popup name="Lösung c)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup> | ||
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Version vom 16. November 2018, 16:22 Uhr
Man lernt nie aus. |
Unterscheidung der Änderungsraten
a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
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Änderungsraten im Sachzusammenhang
für a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn?
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