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Die Ableitung im Sachkontext anwenden: Unterschied zwischen den Versionen

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(Arbeiten -> Aufgaben)
 
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==Aufgabe 1: Fahrtenschreiber==
 
==Aufgabe 1: Fahrtenschreiber==
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{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
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{{Aufgaben|1=1|2= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
 
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
 
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
 
Heute morgen hat Herr Müller<br />
 
Heute morgen hat Herr Müller<br />
 
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
 
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
 
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
 
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
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[[Datei:Fahrtenschreiber.png|links||500px|Ausdrucke des Fahrtenschreibers]]<br />}}
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[[Datei:Fahrtenschreiber Herr Müller.PNG|links||500px|Graph]]<br />}}
 
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<br /><span style="color:blue"> a) </span> Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
 
<br /><span style="color:blue"> a) </span> Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
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<span style="color:blue"> b) </span> Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
 
<span style="color:blue"> b) </span> Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
 
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.  
 
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p942xjwtc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p942xjwtc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>  
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<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup><br />
 
<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup><br />
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==Aufgabe 2: Ballwurf==
 
==Aufgabe 2: Ballwurf==
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{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= Ein Werfer wirft einen Ball. Die Flugkurve des Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
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{{Aufgaben|1=2|2= Bei den Bundesjugendspielen der Klasse 9 wirft Lisa einen Ball. Die Flugkurve ihres Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
 
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!  
 
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!  
  
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https://ggbm.at/J94wAFh3
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<iframe scrolling="no" title=" Lasse den roten Ball fliegen. Kannst du erkennen an welchen Punkten der Ball welche Steigung hat? " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zmh6kw9b/width/910/height/408/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="910px" height="408px" style="border:0px;"> </iframe>
  
  
 
<span style="color:blue"> b) </span>  Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.  
 
<span style="color:blue"> b) </span>  Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.  
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvda4vyqn17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <br />
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvda4vyqn17" style="border:0px;width:100%;height:170px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <br />
 
<popup name="Lösung"> bei A= 0,8; bei B=0; bei C=-0,8 </popup>
 
<popup name="Lösung"> bei A= 0,8; bei B=0; bei C=-0,8 </popup>
 
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<span style="color:blue"> c) </span> Ordne die Begriffe und Interpretationen den Markierungen auf dem Graphen zu. Hierzu musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.
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<span style="color:blue"> c) </span> Ordne die <span style="color:red"> mathematischen Begriffe </span> und <span style="color:green"> Interpretationen </span> den Markierungen auf dem Graphen zu.  
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Die <span style="color:yellow"> gelbe  </span> Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen.
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Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2nv88km317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2nv88km317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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<popup name="Lösung"> grüne Markierung bei x=0 --> Standpunkt des Werfers
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rote Markierung bei x=0 --> Y-Achsenabschnitt
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 +
erste gelbe Markierung --> Bereich mit positiver Steigung (bis zum Hochpunkt steigt der Graph)
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 +
grüne Markierung in der Mitte --> Punkt an dem der Ball weder steigt noch fällt (Im Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null somit ist auch die Steigung gleich null)
 +
 +
rote Markierung bei (30/20) --> Hochpunkt
 +
 +
rote Markierung bei (30/0) --> X-Wert des Hochpunktes
 +
 +
zweite gelbe Markierung --> Bereich mit negativer Steigung (nach Erreichen des Hochpunktes fällt der Graph wieder)
 +
 +
grüne Markierung bei x=61,7 --> Der Ball berührt den Boden
 +
 +
rote Markierung bei x=61,7 --> Nullstelle </popup>
 
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<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.   
 
<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.   
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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<popup name="Lösung"> eine negative Steigung bedeutet, der Ball verliert an Höhe;
 +
 +
eine positive Steigung bedeutet, dass der Ball an Höhe gewinnt ;
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 +
Der Ball wird aus einer Höhe von 2,08m geworfen, dies kann man am Y-Achsenabschnitt ablesen.
 +
 +
Das Intervall geht von 0 bis 61,7. Denn Lisa wirft am Punkt x=0 und der Ball trifft nach 61,7m auf den Boden (diesen Wert erhälst du, indem du die Nullstellen berechnest.)</popup>
 
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==Aufgabe 3: Zuordnungen==
 
==Aufgabe 3: Zuordnungen==
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{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= Ordne die anwendungsbezogenen Aussagen den entsprechenden Abbildungen oder Formeln mit Hilfe deines Wissens über Funktionen und ihren Ableitungen zu.}}  
+
{{Aufgaben|1=3|2= Ordne den Abbildungen oder Formeln die zugehörige Interpretation zu}}  
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmsv0igp517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmsv0igp517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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==Aufgabe 4: Baumwachstum==
 
==Aufgabe 4: Baumwachstum==
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{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Durch die Funktion f mit f(t)=-0,0027t<sup>2</sup>+0,108t+0,02 wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.
+
{{Aufgaben|1=4|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
−
Löse die Aufgabe in deinem Heft.}}<br />
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<br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br />
 
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
 
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
 
<popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup><br />
 
<popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup><br />
  
 
<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
 
<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
−
<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir an welche besonderen Punkte man bei einem Funktion berechnen kann. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
−
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
+
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
−
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter. </popup>
+
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
 +
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter/Jahr. </popup>
 
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==Aufgabe 5: Wasserstand==
 
==Aufgabe 5: Wasserstand==
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein ''''''Heft'''''' für die Rechnungen zur Hilfe
+
{{Aufgaben|1=5|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
 
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
 
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
 
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen.  
 
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen.  
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<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
 
<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
 
<br /> '''Hinweis:'''<br />  
 
<br /> '''Hinweis:'''<br />  
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* h(t) = -0,0025t³+0,04t²+9,17 <br />  
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* <math>h(t) = -0,0025t^3+0,04t^2+9,17 </math> <br />  
 
* t    = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br />  
 
* t    = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br />  
 
* h(t) = Wasserstand in Metern }}
 
* h(t) = Wasserstand in Metern }}
  
 
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.  
 
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.  
−
<popup name="Hilfestellung"> t=7,5 </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Setze für t 7,5 in die Funktion ein (=h(75)). </popup>
−
<popup name="Lösung"> h(7,5)=...≈10,37 </popup><br />
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<popup name="Lösung"> Rechnung: <math>h(7,5)=-0,0025*7,5^3+0,04*7,5^2+9,170</math> =...≈ <math> 10,37(m) </math><br />
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Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m. </popup><br />
  
 
<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
 
<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
  
−
<popup name="Hilfestellung"> Differenzenquotient
+
<popup name="Hilfestellung"> Nutze den Differenzenquotienten.</popup>
−
<popup name="Was genau ist der Differenzenquotient"> [[Datei:Merkkasten.png|links|Merkkasten Differenzenquotient]]
+
−
<br /></popup>
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<popup name="Lösung">(h(8)-h(0))/(8-0)=...=0.16 </popup><br />
+
<popup name="Lösung">Rechnung: <math> \frac{h(8)-h(0)}{8-0} = \frac{10,45-9,17}8 = 0,16 </math>. Die Geschwindigkeit in den ersten achten Stunden betrug durchschnittlich 0,16 m/h. </popup><br />
  
−
<span style="color:blue"> c) </span> Ermittel den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
+
<span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
−
<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Berechne den Extrempunkt (Hochpunkt).<br />
−
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
+
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
−
<popup name="Lösungen"> Extremstelle liegt bei t= 32/3 (und t=0). Hochpunkt ist H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwas 10,69 m. </popup>
+
<popup name="Lösungen"> Die Extremstelle liegt bei <math> t= \frac{32}3 </math> ≈ 10,67 (und t=0, entfällt, da h"(0)>0 und somit wäre es ein Tiefpunkt. (Dieser ist jedoch nicht gesucht.) Der Hochpunkt lautet H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwa 10,69 m um etwa 10:40 Uhr. </popup>
 
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<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.  
+
<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.  
−
<popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Berechne die Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
−
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
+
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
−
<popup name="Lösungen"> Wendestelle liegt bei t=16/3. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>
+
<popup name="Lösungen"> Die Wendestelle liegt bei <math> t= \frac{16}3</math>. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>
 
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==Aufgabe 6: Nutzungsverhalten==
 
==Aufgabe 6: Nutzungsverhalten==
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{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
+
{{Aufgaben|1=6|2= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
−
Durch die Funktion <math> f(t) = -t^3 + 30t^2 - 225t + 520 für 6 ≤ t ≤ 20 </math> wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
+
Durch die Funktion <math>f(t)=-t^3+30*t^2-225*t+520 </math> für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
 
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==Aufgabe 7: Konzertkarten==
 
==Aufgabe 7: Konzertkarten==
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{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit f(t)=0,05t<sup>3</sup>-3t<sup>2</sup>+45,2t beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline. Löse die Aufgabe in deinem Heft.}}<br />
+
{{Aufgaben|1=7|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
 +
<br />Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit <math>f(t)=0,05*t^3-3*t^2+45,2*t</math> beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline.}}<br />
 
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
 
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
−
<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
−
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
+
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
 +
Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
 
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup><br />
 
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup><br />
 
<span style="color:blue"> b) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
 
<span style="color:blue"> b) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
−
<popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
+
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
−
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
+
<popup name="weitere Hilfestellung"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
 +
Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
 
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>
 
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>
  
  
  
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{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 29. April 2018, 11:48 Uhr

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Aufgaben auf dieser Seite unterscheiden sich in ihrem Lernschwerpunkt und Schwierigkeitsgard:

  • Für einen leichten Einstieg in die Sachkontexte befasse dich zunächst mit Aufgabe 1
  • Falls du noch Probleme bei dem allgemeine Zuordnen der Ableitungsbegriffe zu den Anwendungskontexten hast konzentriere dich auf Aufgabe 2 & 3
  • Komplexere Aufgaben befinden sich bei den Aufgaben 4 bis 7, wobei diese sich mit der Nummer in ihrer Schwierigkeit steigern. Solltest du schon sehr sicher mit den Aufgaben sein, gehe direkt zu Aufgabe 7

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1: Fahrtenschreiber

Stift.gif   Aufgabe 1

Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut. Heute morgen hat Herr Müller
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.

Ausdruck des Fahrtenschreibers

Graph



a) Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.



b) Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.



c) Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.




Aufgabe 2: Ballwurf

Stift.gif   Aufgabe 2

Bei den Bundesjugendspielen der Klasse 9 wirft Lisa einen Ball. Die Flugkurve ihres Balls kann näherungsweise durch die Funktion f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08 beschrieben werden.

a) Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!


b) Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.



c) Ordne die mathematischen Begriffe und Interpretationen den Markierungen auf dem Graphen zu.

Die gelbe Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen.


Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.




d) Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.


Aufgabe 3: Zuordnungen

Stift.gif   Aufgabe 3

Ordne den Abbildungen oder Formeln die zugehörige Interpretation zu



Aufgabe 4: Baumwachstum

Stift.gif   Aufgabe 4

Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
Durch die Funktion f mit f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02 wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.


a) Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.


b) Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.



Aufgabe 5: Wasserstand

Stift.gif   Aufgabe 5

Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe


Rhein


In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen. Bei dem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 ≤ t ≤ 12, d.h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.


Graph der Funktion h


Hinweis:

  • h(t) = -0,0025t^3+0,04t^2+9,17
  • t = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00)
  • h(t) = Wasserstand in Metern

a) Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.


b) Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.


c) Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.


d) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.



Aufgabe 6: Nutzungsverhalten

Stift.gif   Aufgabe 6

In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr
Durch die Funktion f(t)=-t^3+30*t^2-225*t+520 für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt.


Nutzungsverhalten der Internetseite

Internetseitenbesucher


a) Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.



b) Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?

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c) Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?

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d) Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?

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Aufgabe 7: Konzertkarten

Stift.gif   Aufgabe 7

Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit f(t)=0,05*t^3-3*t^2+45,2*t beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline.


a) Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?


b) Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?

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