Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor: Unterschied zwischen den Versionen

Hilfestellung 1 verstecken
Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Funktionsgraphen am Berührungspunkt.

Hilfestellung 2 verstecken
Besitzt der Funktionsgraph einen Hoch- oder Tiefpunkt, so hat die Tangente keine Steigung.

Hilfestellung 3 verstecken
Welchen Grad besitzt die Ableitung der Funktion f(x)=x²?.

Hilfestellung 1 verstecken
Betrachte zunächst auffällige Punkte des Funktionsgraphen und versuche diese Punkte im Ableitungsgraphen wieder zu erkennen.

Hilfestellung 2 verstecken
Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus?

Hilfestellung 3 verstecken
Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen aus?

Hilfestellung 4 verstecken
Was weißt du über den Ableitungsgraphen, wenn der Funktionsgraph monoton steigt?

Hilfestellung 1 verstecken
Versuche zunächst den Graphen der beschriebenen Funktion auf einem Blatt zu zeichnen.

Hilfestellung 2 verstecken
Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus?

Hilfestellung 3 verstecken
Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen aus?

Lösungsvorschlag verstecken

Die gesuchte Ableitung ist die linke Abbildung.
Die Funktion hat an der Stelle x=3 eine Wendestelle, da sie dort die stärkste Steigung aufweist. Wenn die Funktion eine Wendestelle besitzt, so hat die Ableitung einen Hoch- oder Tiefpunkt. Die linke und rechte Abbildung erfüllen dieses Kriterium. Die mittlere Abbildung kommt nun nicht mehr in Frage.
Da die Funktion einen Hochpunkt bei (2,1) und einen Tiefpunkt bei (4,-1) besitzt, muss die zugehörige Ableitung an den Stellen x=2 und x=4 Nullstellen besitzen. Auch dies ist bei der linken und rechten Abbildung der Fall.
Im Intervall 2 < x <4 fällt die beschriebene Funktion monoton, da sie in (2,1) einen Hochpunkt und in (4,-1) einen Tiefpunkt besitzt. Wenn die Funktion monoton fällt, so ist die Ableitung negativ. Nun kommt lediglich die linke Abbildung in Frage, da die rechte Ableitung im obigen Intervall positiv ist.

Hilfestellung 1 verstecken
Zeichne eine Funktion dritten Grades. Ebenso zeichne die ersten drei Ableitungen von dieser und überlege, welche Zusammenhänge dir auffallen. Wenn dir dies noch Probleme bereitet, schaue dir die Hilfestellung 2 an.

Hilfestellung 2 verstecken
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Hilfestellung 3 verstecken
f(x) hat eine Tiefpunkt, wenn die Steigung der Tangente (also die Steigung der Ableitung) in diesem Punkt gleich 0 ist. Versuche dir dieses graphisch vorzustellen. Versuch dann die erste Ableitung ein weiteres mal graphisch abzuleiten. Welche zusätzliche Bedingung für einen Tiefpunkt fällt dir auf?

Dieses Verfahren kannst du auch auf einen Hochpunkt anwenden.

Hilfestellung 4 verstecken
Die Wendestelle gibt die stärkste Steigung des Funktionsgraphen an. Dies bedeutet, dass die Ableitung die Steigung des Funktionsgraphen angibt.

Denke daran, dass die zweite Ableitung die Steigung der ersten Ableitung angibt. Demnach bedeutet der Hoch-/Tiefpunkt der ersten Ableitung eine Nullstelle in der zweiten Ableitung. Versuche nun durch zeichnen der dritten Ableitung die weitere Bedingung für die dritte Ableitung herauszubekommen.

Hilfestellung 1 verstecken
Suche zunächst wichtige Punkte heraus (wie z.B. Hochpunkt, Wendestellen, Nullstellen) und überlege, welche Bedeutung diese für den Ableitungsgraphen haben? Wenn dir diese Hilfestellung noch Probleme bereitet, schaue dir Aufgabe 2 an.

Hilfestellung 2 verstecken
Der Funktionsgraph kann durch die Gleichung f(x) = -0,8x² + 10x - 7 modelliert werden. Welcher Grad liegt dann bei der Ableitung vor?

Lösungsvorschlag verstecken
Die dargestellte Gerade ist der Ableitungsgraph f' von f.

Beispielhafte Konstruktion:
1.) Es liegt eine Funktion zweiten Grades vor. Also hat die Ableitung den Grad 1. Sie ist also eine Gerade.
2.) Der Hochpunkt liegt ungefähr bei (6,2|24,2). Also liegt eine Nullstelle bei x=6,2 vor.
3.) Der Funktionsgraph steigt im Intervall [0;6,2) monoton. Demnach ist die Ableitung in diesem Intervall positiv. Je stärker der Funktionsgraph steigt, desto positiver ist der Ableitungsgraph.
4.) Der Funktionsgraph fällt im Intervall (6,2;12] monoton. Demnach ist die Ableitung in diesem Intervall negativ. Je stärker der Funktionsgraph fällt, desto negativer ist der Ableitungsgraph

Ableitung im Sachkontext:
Die Ableitung gibt die Temperaturänderung in °C/Monat an.

Hilfestellung verstecken
Denke daran, dass x=1 für den 1.Februar steht.

Lösungsvorschlag verstecken
Die Temperatur ist im Juli am höchsten, denn der Hochpunkt liegt an der Stelle x=6,2.

Hilfestellung verstecken
Überlegt, welche Bedeutung es für den Ableitungsgraphen hat, wenn der Funktionsgraph monoton steigt/fällt.

Lösungsvorschlag verstecken
Die Temperatur steigt in den Monaten Januar bis Juli. Da dort der Ableitungsgraph im positiven Bereich verläuft. Allerdings nimmt die Temperaturzunahme ab, da die angegebenen Werte in °C/Monat weniger positiv werden.

Die Temperatur fällt in den Monaten Juli bis Dezember. Da dort der Ableitungsgraph im nrgativen Bereich verläuft. zusätzlich nimmt die Temperaturabnahme zu, da die angegebenen Werte in °C/Monat negativer werden werden.
Die Temperatur steigt im Monat Januar am stärksten an. Dieses ist daran zu erkenne, dass die Ableitung dort den größten Wert annimmt.
Die Temperatur fällt im Monat Dezember am stärksten an. Dieses ist daran zu erkenne, dass die Ableitung dort den kleinsten Wert annimmt.