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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate)
(Kategorie ergänzt)
 
(153 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
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==Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate==
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<div  style="margin:0;  margin
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-left:3px;  border:3px  solid  #FF7F00;  padding:  1em  1em   
 
-left:3px;  border:3px  solid  #FF7F00;  padding:  1em  1em   
 
1em    1em;    background
 
1em    1em;    background
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-color:#C6E2FF;    align:left;">    <center><table    border="0"    width="750px
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-color:#C6E2FF;    align:left;">    <center><table    border="0"    width="800px
 
"  
 
"  
 
cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top">
 
cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top">
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Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss
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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der '''mittleren''' und '''lokalen Änderungsrate'''.
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* In '''Aufgabe 1''' kannst du die '''Berechnung der mittlere Änderungsrate''' anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
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*  In '''Aufgabe 2''' übst du die '''Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext'''. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung von mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
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* In '''Aufgabe 3''' beschäftigst du dich mit der '''Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate'''. In den Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
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*In '''Aufgabe 4''' musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
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* Den '''Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate''' erarbeitest du in '''Aufgabe 5'''. Dies ist eine Förderaufgabe.
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* In '''Aufgabe 6''' geht es um die '''geometrischen Zusammenhänge'''. Dies ist eine Forderaufgabe.
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Viel Spaß beim Bearbeiten! :)
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</td></tr></table></center>  
 
</td></tr></table></center>  
 
</div>
 
</div>
  
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===Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten===
 
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{{Aufgaben|1a)|Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.}}
 
  
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<math>1. f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math>
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__TOC__
  
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<math>2. f(x)=x^2</math> im Intervall  <math>[2,7]</math>
+
==Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels==
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Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.
  
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<math>3. f(x)=x^3-2</math> im  Intervall  <math>[-2,1]</math>
 
  
  
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<popup name="Tipp 1">
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{{Merke|'''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet'''
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Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet man so:
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<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.</popup>
+
 
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<popup name="Tipp 2 (zu 3.)">
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Die '''mittlere Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von <math>f</math> in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der '''Sekanten''' an, die die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1)))</math> verbindet.
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Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall <math>[x_0, x_1]</math> berechnet man so:
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<math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math>.
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Der Ausdruck <math>\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> wird auch '''Differenzenquotient''' genannt.}}
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{{Merke|
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'''Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet'''
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Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen.
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Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.
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Der Grenzwert von '''<math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' für h gegen 0 heißt '''Differenzialquotient'''.}}
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{{Merke|'''Sekante'''
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Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an. [[File:Afgeleide.svg|250px|links|rahmenlos|Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen]]}}
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{{Merke|'''Tangente'''
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Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.
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[[File:Tangente2.svg|250px|links|rahmenlos|Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente]]}}
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==Berechnung der mittleren Änderungsrate==
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{{Aufgaben|1: Berechnung der mittleren Änderungsrate| 
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Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst. 
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'''a)'''<math>f(x)=4x+2</math> im Intervall <math>[2,5]</math>
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'''b)'''<math>g(x)=x^2</math> im  Intervall  <math>[2,7]</math>
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'''c)'''<math>h(x)=x^3-2</math> im  Intervall  <math>[-2,1]</math>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pcxqwf7i518" style="border:0px;width:65%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 +
 
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<popup name="Tipp ">
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Wie man die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] berechnet, schaue einmal oben im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach.</popup>
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<popup name="Tipp zu h(x)">
 
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
 
Achte auf die Vorzeichen!</popup>
  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pcxqwf7i518" style="border:0px;width:65%;height:260px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
<popup name="Lösung">'''a)''' Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall <math>[2,5]</math> zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen:<math>f(2)=4\cdot2+2=10 </math> und <math> f(5)=4\cdot5+2=22</math>  
  
−
<popup name="Lösung">1. 4
+
Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: <math>\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4</math>
−
2. 2
+
−
3. 3</popup>
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Bei g(x) und f(x) kannst du bei der Berechnung der mittleren Änderungsrate nach demselben Prinzip vorgehen.
  
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{{Aufgaben|1b)|Dein Sportverein feiert dieses Jahr achtjähriges Bestehen. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht: }}
 
−
{| class="wikitable"
 
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|-
 
−
| Jahr || 1 || 2|| 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
 
−
|-
 
−
| Anzahl der Mitglieder am Ende des Jahres || 210 || 336 || 351 || 371 || 342 || 365|| 387 || 411
 
−
|}
 
−
Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.
 
  
−
'''1)''' Wie viele Mitglieder sind seit Beginn der Mitgliedererfassung im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? Runde bitte auf zwei Nachkommastellen genau und überprüfe anschließend deine Lösung!
+
b) <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math>
  
−
<div class="multiplechoice-quiz">
+
Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math>
  
−
Seit Beginn der Mitgliedererfassung sind im Durchschnitt pro Jahr diese Anzahl an Mitgliedern zum Verein gekommen:
 
−
(!25,13)  (!22,30)  (!31,74)  (!2,23)  (28,71)
 
  
−
</div>
+
c) <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math>  
  
−
'''2)''' Der aktuelle Vorstand arbeitet seit zwei Jahren zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitglieder. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren zuvor. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
+
Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup>}}
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 +
==Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext==
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{{Aufgaben|2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext| 
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Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):
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[[Datei:Diwerspng.PNG|1000 px|rahmenlos|links]]
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Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen.
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'''a)''' Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?
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<popup name="Tipp "> In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall <math> [2010, 2018]</math> gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>
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<popup name="Lösung"> Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:
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<math> \frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26 </math>
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Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt '''pro Jahr 26 Mitglieder''' in deinem Verein hinzugekommen sind. </popup>
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'''b)''' Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
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<popup name="Tipp"> Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue im Merkkästchen '''Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet''' nach. </popup>
  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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Nein, ihnen ist es nicht gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den fünf Jahren zuvor sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/5= '''31 Mitglieder pro Jahr'''. In den letzten zwei Jahren kamen noch insgesamt 411-365= 46 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 46/2= '''23 Mitglieder pro Jahr'''. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also geringer als in den Jahren davor.
+
'''Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.'''
−
</popup>
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Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.
  
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'''durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl''': <math> \frac{f(2016)-f(2010)} {2016-2010}=\frac {365-210} {2016-2010}=\frac {155} {6}=25,83 </math>
  
−
===Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten===
+
'''durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl''': <math> \frac{f(2018)-f(2016)} {2018-2016}=\frac {418-365} {2016-2010}=\frac {53} {2}=26,5 </math>
  
−
{{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
+
Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war.
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
+
</popup> }}
  
−
<popup name="Hinweis Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
 
−
Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte.
 
−
[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|200px]]</popup>
 
  
−
<popup name="Hinweis Differenzialquotient">Die Formel <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt <math>Q(x_0+h|f(x_0+h))</math> auf den Punkt P <math>P(x_0|f(x_0))</math> zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in <math>x_0</math>.</popup>
 
  
−
{{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}}
+
==Unterscheidung der Änderungsraten==
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{{Aufgaben|3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate|
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'''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
 +
 
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 +
 
 +
<popup name="Tipp: Mittlere Änderungsrate">Sieh dir oben das Merkkästchen zur mittleren Änderungsrate nochmal an.</popup>
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 +
<popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Schau dir das oben aufgeführte Merkkästchen zur lokalen Änderungsrate an.</popup>
 +
 
 +
 
 +
'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.
 +
 
 +
<popup name="Tipp">Hier sollst du Begriffspaare bilden. Das Paar soll aus einem Begriff zur mittleren Änderungsrate und einem Begriff zur lokalen Änderungsrate bestehen. Die Begriffe sollen inhaltlich zueinander passen, wie zum Beispiel das Begriffspaar Sekante (mittlere Änderungsrate) und Tangente (lokale Änderungsrate).</popup>
 +
 
 
<popup name="Lösung"
 
<popup name="Lösung"
 
>{| class="wikitable"
 
>{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate
+
! mittlere Änderungsrate !! lokale Änderungsrate
 
|-
 
|-
 
| Sekante || Tangente
 
| Sekante || Tangente
 
|-
 
|-
−
| <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> || <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>
+
| Differenzenquotient || Differenzialquotient
 
|-
 
|-
 
| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
 
| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
Zeile 88: Zeile 187:
 
| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
 
| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
 
</popup>
 
</popup>
 +
}}
  
 +
==Änderungsraten im Sachzusammenhang==
  
−
{{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
+
{{Aufgaben|4: Änderungsraten im Sachzusammenhang|
  
−
        ''<math>s(t)=10t-t^2</math>''    für  <math>t\in [0;5]</math>
+
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:
  
−
'''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
+
''<math>s(t)=10t-t^2</math>''   für  <math>t\in [0;5]</math>
  
−
'''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.
+
'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
  
−
'''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?  
+
<popup name="Lösung">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10\cdot3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10 \cdot 5-5^2=50-25=25</math>.</popup>
 +
 
 +
 
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'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
 +
 
 +
<popup name="Tipp">Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit.</popup>
 +
 
 +
<popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup>
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 +
<popup name="Lösung">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2\cdot3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2\cdot5=10-10=0</math>.</popup>
 +
 
 +
'''c)''' Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?  
 +
 
 +
<popup name="Lösung">Die angegebene Funktion kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden an der Ampel stehen geblieben ist. Somit ist der Weg, der durch die genannte Funktion beschrieben wird, zu Ende.</popup>
 
}}
 
}}
  
−
<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
+
==Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==
  
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pg7j9c1ek18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+
{{Aufgaben|5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate|
  
−
<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
+
Die Funktion <math>f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3</math> ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
  
−
<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
+
[[Datei:Funktionsgraph.PNG|350px|zentriert|rahmenlos|Bild des Funktion f]]
 +
 
 +
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt <math>P = (2|2,5)</math> mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
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 +
[[Datei:Tabelle Grenzwert.PNG|300px|zentriert|rahmenlos|Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f]]
 +
 
 +
'''a)''' Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
 +
 
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<popup name="Lösung">Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995.</popup>
 +
 
 +
'''b)''' Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.
 +
 
 +
<popup name="Tipp">Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden.</popup>
 +
 
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<popup name="Lösung zu 2)">In dieser Zeile müsste man durch 0 teilen, da man <math>\frac {f(2)-f(2)} {2-2} = \frac {f(2)-f(2)} {0}</math> rechnen würde. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar.</popup>
 +
 
 +
'''c)''' Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math>? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf <math>\frac {f(2)-f(x)} {2-x}</math>.
 +
 
 +
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdbfw1aq318" style="border:0px;width:100%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 +
 
 +
<popup name="Tipp">Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> \frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math></popup> für x gegen 2.
 +
 
 +
<popup name="Lösung"> Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der Wert der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differenzialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten →<math>\frac{f(2)-f(x)} {2-x}</math> dem Differenzialquotienten. Letzterer gibt die lokale Änderungsrate im Punkt <math>P = (2|2,5)</math> an.</popup>}}
 +
 
 +
==Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate==
 +
 
 +
{{Aufgaben|6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)| 
 +
 
 +
Im folgenden Applet ist die Funktion <math>f(x) = 0,2x^2+0,5</math> dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
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<iframe scrolling="no" title="Zusammenhang von Differential- und Differenzenquotient diff" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h7hjqw9y/width/800/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe>
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'''a)''' Was gibt die Variable m<sub>s</sub> an?
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<popup name="Tipp"> m ist dir als Steigung einer Geraden bekannt. Wie nennt man die Gerade, deren Steigung hier mit m<sub>s</sub> benannt ist?</popup>
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<popup name="Lösung"> m<sub>s</sub> gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B an.</popup>
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'''b)''' Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Tipp">Verschieben den "x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>"-Schieberegler in der oberen Darstellung und lies die gesuchten Werte in der Formel zum Differenzenquotienten ab.</popup>
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<popup name="Tipp Sekante">Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Sekante an.</popup>
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<popup name="Tipp Tangente">Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Tangente an.</popup>
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<popup name="Tipp"><iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe></popup>
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<popup name="Lösung">
  
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<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>
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3)Sekante
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{{Aufgaben |3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate|
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<iframe scrolling="no" title="Zusammenhang von Differential- und Differenzenquotient diff" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/h7hjqw9y/width/1000/height/482/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="482px" style="border:0px;"> </iframe>
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4)sinkt
  
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5)die Steigung der Funktion im Punkt <math>x_0</math>
  
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'''a)''' Sieh dir zunächst die Formeln im unteren Bereich der Darstellung an. Durch Verschieben des h-Knopfs verändern sich die Werte. Probiere dies aus und fülle den folgenden Lückentext aus.
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6)dem Differentialquotienten
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfj78n0nc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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7)0,8</popup>}}
  
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'''b)'''}}
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:59 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

  • In Aufgabe 1 kannst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 2 übst du die Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung von mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
  • In Aufgabe 3 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In den Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 4 musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Viel Spaß beim Bearbeiten! :)


Inhaltsverzeichnis


Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet


Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f in einem Intervall [x_0, x_1] gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von f in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekanten an, die die Punkte (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1))) verbindet.


Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x_0, x_1] berechnet man so: \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}.

Der Ausdruck \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0} wird auch Differenzenquotient genannt.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet


Die lokale Änderungsrate einer Funktion f gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle x an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion f. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung f'(x) berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert von \frac{f(x+h)-f(x)} {h} für h gegen 0 heißt Differenzialquotient.


Nuvola apps kig.png   Merke

Sekante


Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.
Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen


Nuvola apps kig.png   Merke

Tangente


Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente


Berechnung der mittleren Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate


Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.


a)f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

b)g(x)=x^2 im Intervall [2,7]

c)h(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]


Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Stift.gif   Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?


b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?



Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.


b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

s(t)=10t-t^2 für t\in [0;5]

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.


b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Funktion im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?

Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate


Die Funktion f(x) = -1/2\cdot(x-1)^2+3 ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Bild des Funktion f

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt P = (2|2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f

a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt P = (2|2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf \frac {f(2)-f(x)} {2-x}.

für x gegen 2.

Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)


Im folgenden Applet ist die Funktion f(x) = 0,2x^2+0,5 dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x1-x0-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

a) Was gibt die Variable ms an?

b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.

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