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<popup name="Tipp: Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an. | <popup name="Tipp: Differenzenquotient">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an. | ||
| − | Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte. | + | Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>). |
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Version vom 13. Oktober 2018, 15:43 Uhr
Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
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Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss |
 Aufgabe 1
Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten |
1a Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.
im Intervall ![[2,5]](/images/math/d/b/5/db5dc72ec1da78e609bf9f0ae1447688.png)
im Intervall ![[2,7]](/images/math/1/1/f/11fa16d050ab48b2dd318ff5b5817119.png)
im Intervall ![[-2,1]](/images/math/7/0/1/7019f6fe0e7078b019e0586e7cbc564a.png)
.
1b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):
| Jahr | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| Anzahl der Mitglieder zu Beginn des Jahres | 210 | 297 | 336 | 351 | 371 | 342 | 365 | 387 | 418 |
Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.
1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?
(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)
2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)
Unterscheidung der Änderungsraten
| Aufgabe 2:
Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. (ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. (iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für
|
stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [
;
] an.
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) und Q(
).
heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.
für ![t\in [0;5]](/images/math/d/1/7/d17e4f93b0be76b84d0dd79694840cff.png)
keinen Sinn?
| Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate
Diese Funktion ist in der folgenden App dargestellt.
|
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten von x=2 mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.
| x-Werte | y-Werte | Differentialquotient f(1)-f(x)/1-x |
|---|---|---|
| 1,9 | 2,595 | -0,95 |
| 1,95 | 2,5488 | -0,976 |
| 1,96 | 2,5392 | -0,98 |
| 1,97 | 2,5296 | -0,9866 |
| 1,98 | 2,5198 | -0,99 |
| 1,99 | 2,50995 | -0,995 |
| 2 | 2,5 | ? |
1) Beschreibe was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.
2) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt x=2? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen?
dem Differentialquotienten. Letzterer gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x=2 an.b) (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
1) Was gibt die Variable ks an?
2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
