Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate. In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen. In b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher im Umgang mit mittleren Änderungsraten bist, kannst du diese Aufgabe auch überspringen. In Aufgabe 3 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe. In Aufgabe 4 musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5.Dies ist eine Förderaufgabe. In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe. Viel Spaß beim Bearbeiten! :)

Merke Sekante: Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.

Merke Tangente: Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Merke Die lokale Änderungsrate Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion $f$. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung $f'(x)$ berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden. Der Grenzwert $\overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient. .

Bestimmung von mittleren Änderungsraten

Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate Berechne die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Intervallen zunächst auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst. $1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$ $2. g(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$ $3. h(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x0, x1] berechnet man so: $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$. Tipp zu h(x) anzeigen Tipp zu h(x) verstecken Achte auf die Vorzeichen! Lösung anzeigen Lösung verstecken 1. Um die mittlere Änderungsrate von f im Intervall $[2,5]$ zu berechen, benötigst du die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen:$f(2)=4*2+2=10$ und $f(5)=4*5+2=22$ Die mittlere Änderungsrate von f berechnet man so: $\frac {f(5)-f(2)} {5-2}=\frac {22-10} {5-2}= \frac{12} {3}= 4$ Bei g(x) und f(x) kannst du bei der Berechnung der mittleren Änderungsrate nach demselben Prinzip vorgehen. 2. $g(2)=2^2=4$ und $g(7)=7^2=49$ Berechnung der mittleren Änderungsrate: $\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9$ 3. $h(-2)=(-2)^3-2=(-10)$ und $h(1)=1^3-2=(-1)$ Berechnung der mittleren Änderungsrate:$\frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3$

Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder): Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

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In dieser Aufgabe wird die mittlere Änderungsrate im Intervall $[2010, 2018]$ gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du diese berechnen kannst, lies in den Tipps zu Aufgabe 1 nach.

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Um herauszufinden, wie viele Mitglieder seit 2010 in deinem Verein durchschnittlich pro Jahr hinzugekommen sind, musst du die mittlere Änderungsrate im Intervall [2010, 2018] bestimmen. Wir können sagen, dass f(x) die Funktion ist, die jeder Jahreszahl ab 2010 die Anzahl der Mitglieder in diesem Jahr zuordnet. Dann ist f(2010)=210 und f(2018)=418. Mit diesen Werten kannst du jetzt die mittlere Änderungsrate bestimmen:

$\frac {f(2018)-f(2010)} {2018-2010}= \frac {418-210} {2018-2010}= \frac {208} {8}= 26$

Aus der mittleren Änderungsrate kannst du nun ablesen, dass seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr 26 Mitglieder in deinem Verein hinzugekommen sind.

b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)

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Vergleiche die mittlere Änderungsrate in den Jahren vor der Wahl des neuen Vorstands (2010-2016) und nach der Wahl des neuen Vorstands (2016-2018). Wenn du nicht mehr weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, schaue dir die Tipps zu Aufgabe 1 und 2a) nochmal an.

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Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen.

Um auf diese Lösung zu kommen, musst du die mittleren Änderungsraten in den Jahren vor und nach der Wahl des neuen Vorstands vergleichen.

durchschnittliche Änderungsrate vor der Wahl: $\frac{f(2016)-f(2010)} {2016-2010}=\frac {365-210} {2016-2010}=\frac {155} {6}=25,83$

durchschnittliche Änderungsrate nach der Wahl: $\frac{f(2018)-f(2016)} {2018-2016}=\frac {418-365} {2016-2010}=\frac {53} {2}=26,5$

Die mittlere Änderungsrate der letzten zwei Jahren ist also höher als die der Jahre davor. Daraus lässt sich schließen, dass der durchschnittliche Mitgliedszuwachs im Verein pro Jahr seit 2016 ein wenig höher ist als es in den Jahren davor der Fall war.

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht. Tipp: Mittlere Änderungsrate anzeigen Tipp: Mittlere Änderungsrate verstecken Die Formel $\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P($x_0$|$f(x_0)$) und Q($x_1$|$f(x_1)$). Tipp: Lokale Änderungsrate anzeigen Tipp: Lokale Änderungsrate verstecken Die Formel → $\frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle. b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. Lösung anzeigen Lösung verstecken mittlere Änderungsrate lokale Änderungsrate Sekante Tangente Differenzenquotient Differenzialquotient die Steigung zwischen zwei Punkten die Steigung im Punkt P die durchschnittliche Steigung die Ableitung an der Stelle x0 die Durchschnittsgeschwindigkeit die Momentangeschwindigkeit

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt: $s(t)=10t-t^2$ für $t\in [0;5]$ a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. Tipp anzeigen Tipp verstecken Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit. Tipp anzeigen Tipp verstecken Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden. b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn? Lösung a) anzeigen Lösung a) verstecken Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn $s(3)=10*3-3^2=30-9=21$. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt $s(5)=10*5-5^2=50-25=25$. Lösung b) anzeigen Lösung b) verstecken Die lokale Änderungsrate $s'(t)=10-2t$ entspricht der Geschwindigkeit. $s'(3)=10-2*3=10-6=4$ und $s'(5)=10-2*5=10-10=0$. Lösung c) anzeigen Lösung c) verstecken Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich $t\in [0;5]$ gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.

Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate Die Funktion $f(x) = -1/2*(x-1)^2+3$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt: In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt $P = (2|2,5)$ mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. Lösung anzeigen Lösung verstecken Je näher man den x-Wert an 2 annähert, desto kleiner wird der Wert des Differenzenquotienten. Er nähert sich von anfänglich -0,95 immer näher an -1 an. So liegt der Wert des Differenzenquotienten bei 1,99 bei -0,995. b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege, welche Werte im Zähler und im Nenner des Differenzenquotienten in dieser Zeile stünden. Lösung zu 2) anzeigen Lösung zu 2) verstecken In dieser Zeile müsste man durch 0 teilen, da man $\frac {f(2)-f(2)} {2-2} = \frac {f(2)-f(2)} {0}$ rechnen würde. Dies ist keine zulässige Rechenoperation, also nicht berechenbar. c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt $P = (2|2,5)$? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf $\frac {f(2)-f(x)} {2-x}$. Tipp anzeigen Tipp verstecken Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient $\lim_{x \to 2} \frac{f(2)-f(x)} {2-x}$ Lösung zu 3) anzeigen Lösung zu 3) verstecken Wenn der Differenzenquotient einen bestimmten Wert, z.B. -0,95 bei x=1,9, annimmt, entspricht der Wert der mittleren Änderungsrate der Funktion im Intervall [1,9;2]. Wenn man kleinere Intervalle betrachtet, nähert sich der Differenzenquotient -1 an. Das bedeutet, in der Umgebung von x=2 liegt die Änderungsrate nahe bei -1. Da die Änderungsrate in einem Punkt von dem Differenzialquotient angegeben wird, entspricht der der Grenzwert des Differenzenquotienten →$\frac{f(2)-f(x)} {2-x}$ dem Differenzialquotienten. Letzterer gibt die lokale Änderungsrate im Punkt $P = (2|2,5)$ an.

Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe) Im folgenden Applet ist die Funktion $f(x) = 0,2x^2+0,5$ dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x1-x0-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. a) Was gibt die Variable ms an? Tipp anzeigen Tipp verstecken m ist dir als Steigung einer Geraden bekannt. Wie nennt man die Gerade, deren Steigung hier mit ms benannt ist? Lösung anzeigen Lösung verstecken ms gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B an. b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus. Tipp anzeigen Tipp verstecken Verschieben den "x1-x0"-Schieberegler in der oberen Darstellung und lies die gesuchten Werte in der Formel zum Differenzenquotienten ab. Tipp Sekante anzeigen Tipp Sekante verstecken Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Sekante an. Tipp Tangente anzeigen Tipp Tangente verstecken Sieh dir oben das Merkkästchen zum Thema Tangente an. Tipp anzeigen Tipp verstecken Lösung anzeigen Lösung verstecken 3)Sekante 4)sinkt 5)die Steigung der Funktion im Punkt $x_0$ 6)dem Differentialquotienten 7)0,8