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Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen

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<u></u><div style="padding:50px;background: #008B00;border:0px groove;">
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<div style="margin:0; margin-right:50px; margin-left:50px; border:5px solid #FFFFFF; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
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<big><span style="color:#C00000">&nbsp;
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<span style="color:#FFC125">&nbsp;<span style="font-size:25pt;">Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert</span>
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In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
 
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
 
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→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
 
→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
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→   Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
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→   Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
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Und wie kann man solche Aufgaben lösen?
 
Und wie kann man solche Aufgaben lösen?
 
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Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
 
Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
  
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  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
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In Worten:
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Der  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> vom <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>.
 
   
 
   
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Damit du verstehst, was damit gemeint ist, erkläre ich jetzt die Begriffe an einem Beispiel.
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'''Begriffserklärung:'''
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Der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der Ausgangswert.
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Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist immer ein Anteil, ausgedrückt in '''Prozent'''.
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Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert.
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Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.
 
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<span style="color: #76EE00">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #FF4040">'''30%'''</span>
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<span style="color: #FF4040">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #76EE00">'''30%'''</span>
  
 
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→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>,
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→ Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>,
 
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→ die 20 Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
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→ die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
 
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→ und die 30% der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>.
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→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
 
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In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br />
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<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span>
 
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Teste hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFC125; align:left;">
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<popup name= 1.Aufgabe>
  
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Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
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<div class="lueckentext-quiz">
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Bei der '''Berechnung''' von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von '''Teilen des Ganzen''', des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.<br />
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Das Ganze, heißt '''Grundwert'''. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.<br />
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Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt '''Prozentsatz'''. <br />
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Wenn man ihn mit dem Grundwert '''multipliziert''' erhält man den '''Prozentwert''', der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.
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</div>
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</popup>
 
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<popup name= Aufgabe>
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<popup name= 2.Aufgabe>
  
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 
</popup>
 
</popup>
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</div>
 
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Natürlich muss der gesuchte Wert nicht immer der Prozentwert sein, denn es kann genauso gut sein dass in der Aufgabenstellung nach dem Grundwert oder dem Prozentsatz gefragt ist.
 
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Dazu musst du die Grundgleichung einfach nach der gesuchten Größe umstellen.<br />
 
  
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Falls du nicht weißt, wie das geht, gibt es hier eine Erklärung dazu:
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Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>, verwendet man diese Gleichung:
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<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
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Und wenn der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> gesucht ist, brauchst du zur Berechnung diese Gleichung:
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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<popup name= Schilderung>
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<popup Name= Herleitung>
 
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Zunächst gibt es drei Arten die Gleichung zu schreiben:
 
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[[Datei:Dreisatz.png|300px|thumb|align:right|Dreisatz]]
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<span style="color: #00B2EE">'''Herleitung Grundwert:'''</span> <br />
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Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br />
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Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?
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Die erste kennst du ja bereits, das ist die Grundgleichung:
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Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
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Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.
 
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→  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
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Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)
 
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Wenn nun aber der nicht mehr nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, musst du die Gleichung durch den Prozentsatz teilen, damit der Grundwert alleine auf einer Seite steht.<br />
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Das sieht dann so aus: <br /><br />
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Daraus ergibt sich dann die Gleichung: <br /><br />
  
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→ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
+
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
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<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ &middot; <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ &middot; 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span>
 
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=> <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span>
 
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÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
 
  
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Wenn nach dem Prozentwert gesucht ist, funktioniert das Umstellen nach dem selben Prinzip wie oben, nur dass du die Gleichung nun durch den Grundwert teilen musst, damit der Prozentsatz alleine steht:
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[[Datei:Bildschirmfoto 2018-03-31 um 22.01.28.png|300px|thumb|]]
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<span style="color: #76EE00">'''Herleitung Prozentsatz:'''</span> <br />
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Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br />
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Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
  
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→ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
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Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br />
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Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
 
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=> <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
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Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> • 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
 
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Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span><br />
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<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span>
 
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Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !
 
 
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<popup name= Aufgaben>
 
 
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1a) Eine Zahl wird um 60% verkleinert und man erhält 2400.<br />
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Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !
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Welche Zahl war es?
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1b) Eine Zahl wird um 20% verkleinert. Die erhaltene Zahl wird wiederum um 20% verkleinert und die darauf erhaltene Zahl noch einmal um 20%.<br />
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFC125; align:left;">
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Daraufhin erhält man die Zahl 2400. Wie groß war die Ausgangszahl vor der ersten Verkleinerung ?
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Vergleiche dein Ergebnis  mit dem aus der Teilaufgabe a).<br />
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Was fällt dabei auf?<br /><br />
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2)
 
 
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→ Beide Ergebnisse sind gleich !
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Aktuelle Version vom 29. Januar 2020, 10:02 Uhr

 

 Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert


In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.

→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Und wie kann man solche Aufgaben lösen?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst erkläre ich dir jetzt.

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen: 

Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert
In Worten:
Der  Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.


Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist immer ein Anteil, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert.

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:


6 von 20 Schüern, sind ( \frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) 30%



→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert,

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6


Teste hier, ob du die Begriffe verstanden hast!




Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man diese Gleichung: 

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz


Und wenn der Prozentsatz gesucht ist, brauchst du zur Berechnung diese Gleichung: 

Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert



Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !




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