Mathematik E-Phase

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Vorlage:Lernpfad-M



Inhaltsverzeichnis

Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Vorlage:Mathematik
Vorlage:Experiment


GeoGebra-Tabelle erstellen

Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, können Sie sich die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markieren Sie als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü Erzeuge - Liste von Punkten ausgewählt werden, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.



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Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805. Vorlage:Mathematik

Vorlage:Aufgaben-M

Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben



Vorwissenstest

Vorlage:Testen Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.



Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Vorlage:Zeit

In diesem Abschnitt soll die erste Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft werden. Sie üben, mittlere Änderungsraten zu bestimmen und damit momentane Änderungsraten anzunähern.



Blumenvase

130px

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58



Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

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Momentane Änderungsrate


Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.


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Wenn der Wasserstand als Funktion von der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten auch rechnerisch bestimmen. Vorlage:Aufgaben-M


Vorlage:ProtokollierenHausaufgaben:

  • Seite 155/6, Seite 156/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
  • Seite 40/6, Seite 41/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
  • Seite 41/2, Seite 45/1c, Seite 45/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)



Vorlage:Testen



Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Vorlage:Zeit In diesem Abschnitt soll die zweite Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft und verallgemeinert werden. Sie lernen und üben, Sekantensteigungen und Tangentensteigungen zu bestimmen.



Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) kann mit  m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.


Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) schneidet, nennt man Sekante.

 m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} ist dann die Sekantensteigung.



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In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

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Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.



Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.



Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Vorlage:Aufgaben-M Bei Bedarf: Materialien zum Wiederholen der Bestimmung von Steigungen




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Stift.gif   Aufgabe

Vorlage:ProtokollierenHausaufgaben

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.
c) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=3 x^2+2 im Punkt A(2| f(2)).


Stift.gif   Aufgabe

Vorlage:Differenzieren a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.


Vorlage:Testen



Der Differenzenquotient

Vorlage:Zeit

Vorlage:Aufgaben-M
Farm-Fresh plenumPlenumsphase



Der Differentialquotient

Vorlage:Zeit

Nuvola apps kig.png   Merke

Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.


Im Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

Vorlage:ProtokollierenÜbertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.


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Vorlage:Testen



Die Ableitungsfunktion

Vorlage:Zeit

Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.

Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .


Vorlage:Aufgaben-M


Vorlage:ProtokollierenHausaufgaben:

  • Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
  • Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
  • Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Vorlage:DifferenzierenÜbungen für Fortgeschrittene:



Vorlage:Testen



Die h-Schreibweise

Vorlage:Zeit

Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.



Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten

Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 klein werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


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Die Berechnung von Ableitungen

Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) einer Funktion f an einer Stelle x0 berechnen.

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Vorlage:Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M


Stift.gif   Aufgabe

Vorlage:Differenzieren Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t=5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t=t0.


Vorlage:Aufgaben-M



Nuvola apps kig.png   Merke

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x0 ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion.
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.


Vorlage:ProtokollierenHausaufgabe: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x2+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x0.


Üben und Vertiefen

Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der Vorlage:Differenzierengibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.

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Zum Abschluss

Vorlage:UntersuchenVorlage:BegründenBetrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:

  • Was waren die Problemstellungen?
  • Was waren die ersten Lösungsansätze?
  • Wie sieht die mathematische Lösung aus?




Vorlage:TestenSchätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden Selbsteinschätzungsbogen ein.




Vorlage:Mitgewirkt