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Benutzer:Tina WWU3: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten)
 
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===Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten===
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==Über mich==
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*Seminar: [[Digitale Werkzeuge in der Schule|Wikiprojekt zu dem Seminar "DiWerS]]
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*Projekt: [[Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Trainingsfeld_Ableitungen|Trainingsfeld Ableitungen]]
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*betreut von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]]
  
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{{Aufgaben|2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate|Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
 
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=764461" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
 
  
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<popup name="Hinweis">Die Formel <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über den Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quptient die Steigung der Sekaqnte durch zwei Punkte.
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{{Merke|
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[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|200px|rechts]]</popup>
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==Die lokale Änderungsrate==
  
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{{Aufgaben|2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a|Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.}}
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Die '''lokale Änderungsrate''' einer Funktion <math>f</math> gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der '''Tangente''' an der Stelle <math>x</math> an. Die Steigung der Tangente entspricht der '''Ableitung''' der Funktion <math>f</math>. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung <math>f'(x)</math> berechnen.
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Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.
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Der Grenzwert '''<math>\overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>''' heißt '''Differenzialquotient'''.
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<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6HDhATXNCGU" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>.}}
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==Unterscheidung der Änderungsraten==
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{{Aufgaben|3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate|
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'''a)''' Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pave4br9c18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Tipp: Mittlere Änderungsrate">Die Formel <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}</math> stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall [<math>x_1</math>;<math>x_2</math>] an.
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Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P(<math>x_0</math>|<math>f(x_0)</math>) und Q(<math>x_1</math>|<math>f(x_1)</math>).
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[[File:Afgeleide.svg|Geometrische Betrachtung des Differenzenquotienten|300px]]</popup>
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<popup name="Tipp: Lokale Änderungsrate">Die Formel → <math>\frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math> heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.</popup>
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'''b)''' Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.
 
<popup name="Lösung"
 
<popup name="Lösung"
 
>{| class="wikitable"
 
>{| class="wikitable"
 
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! mittlere Änderungsrate !! momentane Änderungsrate
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! mittlere Änderungsrate !! lokale Änderungsrate
 
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| Sekante || Tangente
 
| Sekante || Tangente
 
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| <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}</math> || <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}</math>
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| Differenzenquotient || Differenzialquotient
 
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| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
 
| die Steigung zwischen zwei Punkten || die Steigung im Punkt P
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| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
 
| die Durchschnittsgeschwindigkeit || die Momentangeschwindigkeit
 
</popup>
 
</popup>
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}}
  
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==Änderungsraten im Sachzusammenhang==
  
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{{Aufgaben|2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang|Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit (t in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
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{{Aufgaben|4: Änderungsraten im Sachzusammenhang|
  
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        ''<math>s(t)=10t+t^2</math>''    für  <math>t\in [0;5]</math>
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Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:
  
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'''(i)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
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''<math>s(t)=10t-t^2</math>''   für  <math>t\in [0;5]</math>
  
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'''(ii)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt.
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'''a)''' Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.
  
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'''(iii)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?
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<popup name="Tipp">Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit.</popup>
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<popup name="Hinweis zu (ii)">Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit</popup>
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<popup name="Tipp">Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden.</popup>
  
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<popup name="Lösung (i)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.</popup>
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'''b)''' Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.
  
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<popup name="Lösung (ii)">Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.</popup>
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'''c)''' Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für <math>t=6</math> keinen Sinn?
  
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<popup name="Lösung (iii)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.</popup>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq5ma4hmn18" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Lösung a)">Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn <math>s(3)=10*3-3^2=30-9=21</math>. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt <math>s(5)=10*5-5^2=50-25=25</math>.</popup>
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<popup name="Lösung b)">Die lokale Änderungsrate <math>s'(t)=10-2t</math> entspricht der Geschwindigkeit. <math>s'(3)=10-2*3=10-6=4</math> und <math>s'(5)=10-2*5=10-10=0</math>.</popup>
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<popup name="Lösung c)">Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich <math>t\in [0;5]</math> gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.</popup>
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}}

Aktuelle Version vom 12. Januar 2019, 23:51 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Die lokale Änderungsrate

Die lokale Änderungsrate einer Funktion f gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle x an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion f. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung f'(x) berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert \overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h} heißt Differenzialquotient.

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Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.


b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

s(t)=10t-t^2 für t\in [0;5]

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?

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