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Zufallsexperimente: Unterschied zwischen den Versionen

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<u>Beispiel:</u>
 
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Fast jeder wird im Alltag regelmäßig Ausführer eines Zufallsexperiments. Ein gutes Beispiel sieht man beim Spielen von "Mensch ärger dich nicht". Wenn der Spieler an der Reihe ist, würfelt er, um mit seiner Figur vorrücken zu können. Dieses Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Wie wir in der Definition gelernt haben, ist eim Merkmal von Zufallsexperimenten die Unbekanntheit der Ergebnisse. Dies trifft auch beim Würfeln zu, da der Spieler nicht wissen kann, welche Zahl er würfeln wird. Obwohl das Würfelergebnis noch unbekannt ist, besteht das Merkmal eines Zufallsexperiments darin, dass alle möglichen Ergebnisse bekannt sind. So auch beim Würfeln: Da die Spieler wissen, dass ein Würfel 6 Seiten hat, wissen sie auch, dass das Ergebnis nur zwischen 1 und 6 liegen kann. Die möglichen Ergebnisse sind also 1,2,3,4,5 oder 6.
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Fast jeder wird im Alltag regelmäßig Ausführer eines Zufallsexperiments. Ein gutes Beispiel sieht man beim Spielen von "Mensch ärger dich nicht". Wenn ein Spieler an der Reihe ist, würfelt er, um mit seiner Figur vorrücken zu können. Dieses Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Wie wir in der Definition gelernt haben, ist ein Merkmal von Zufallsexperimenten die Unbekanntheit der Ergebnisse. Dies trifft auch beim Würfeln zu, da der Spieler nicht wissen kann, welche Zahl er würfeln wird. Obwohl das Würfelergebnis noch unbekannt ist, besteht das zweite Merkmal eines Zufallsexperiments darin, dass alle möglichen Ergebnisse bekannt sind. So auch beim Würfeln: Da die Spieler wissen, dass ein Würfel 6 Seiten hat, wissen sie auch, dass die Ergebnisse 1,2,3,4,5 oder 6 möglich sind. Welches Ergebnis genau eintritt ist allerdings unbekannt.  
  
 
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pphpmzdkn17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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<popup name= Erklaerungen  ä>
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<span style="color: red">'''Erklärungen zu den Lösungen''' </span>
 
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'''Eine Münze wird geworfen und betrachtet, ob sie auf Kopf oder Zahl liegen bleibt.
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'''Eine Münze wird geworfen und es wird betrachtet, ob Kopf oder Zahl oben liegt.
 
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Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, da man nicht wissen kann, ob die Münze auf der Kopf- oder Zahlseite liegen bleibt, aber alle möglichen Ergebnisse, nämlich Kopf und Zahl, bekannt sind.
 
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, da man nicht wissen kann, ob die Münze auf der Kopf- oder Zahlseite liegen bleibt, aber alle möglichen Ergebnisse, nämlich Kopf und Zahl, bekannt sind.
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'''Die Siedetemperatur von Wasser wird gemessen.
 
'''Die Siedetemperatur von Wasser wird gemessen.
 
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Hierbei handelt es sich um kein Zufallsexperiment, da die Siedetemperatur von Wasser bei 100°C liegt. Der Ausgang ist also schon bekannt.
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Hierbei handelt es sich um kein Zufallsexperiment, da die Siedetemperatur von Wasser immer bei 100°C liegt. Der Ausgang ist also schon bekannt.
 
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'''Auf einem Tisch liegen 2 blaue, 3 rote und 5 gelbe Stifte. Ohne hinzuschauen, wird einer der Stifte genommen und geschaut, welche Farbe er hat.
 
'''Auf einem Tisch liegen 2 blaue, 3 rote und 5 gelbe Stifte. Ohne hinzuschauen, wird einer der Stifte genommen und geschaut, welche Farbe er hat.
 
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Es handelt sich um ein Zufallsexperiment. Alle Merkmale treffen zu: Man kennt alle möglichen Ergebnisse, da man weiß, welche Stifte auf dem Tisch liegen. Da man ohne hinzuschauen einen Stift zieht, weiß man allerdings wieder nicht, welchen der Stifte genau man ziehen wird. Der Ausgang ist also unbekannt. 
 
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'''Der Lehrer benotet die Schulaufgaben der Schüler/innen
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'''Der Lehrer benotet die Schulaufgaben der Schüler/innen.
 
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Hierbei handelt es sich um kein Zufallsexperiment, da der Lehrer die Noten nach Leistung vergibt und sie nicht zufällig benotet.
 
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<colorize>Auswerten von Zufallsexperimenten</colorize>
 
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Zum Auswerten von Zufallsexperimenten betrachtet man die '''absolute''' und '''relative''' Häufigkeit.
 
Zum Auswerten von Zufallsexperimenten betrachtet man die '''absolute''' und '''relative''' Häufigkeit.
 
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Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt.<br />
 
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Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit/ des Ergebnisses an der Gesamtanzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist.<br />
 
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Beispiel:
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Die '''absolute''' Häufigkeit gibt an, '''wie oft''' ein bestimmtes Ergebnis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt.<br />
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Die '''relative''' Häufigkeit gibt an, wie groß der '''Anteil''' der absoluten Häufigkeit/ des Ergebnisses an der Gesamtanzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist.
 
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Nett to know/Gut zu wissen: '''Empirisches Gesetz der großen Zahlen:'''
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Nach einer großen Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative Häufigkeit auf einen bestimmten Wert. Die relative Häufigkeit verändert sich also bei weiteren Durchführungen kaum.
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Hier kannst du das Auswerten von Zufallsexperimenten üben:
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===== Übungen zum Auswerten von Zufallsexperimenten =====
 
===== Übungen zum Auswerten von Zufallsexperimenten =====
 
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Fülle die Lücken der folgenden Tabelle mit den richtigen Zahlen.
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Fülle die Lücken der folgenden Tabelle mit den richtigen Zahlen. Die Antwortmöglichkeiten findest du im Kasten unter der Tabelle.  
 
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Es wurde 50 Mal gewürfelt.
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Es wurde insgesamt 50 Mal gewürfelt.
  
 
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|Augenzahl
 
|Augenzahl
 
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|gewürfelte Anzahl ≙ absolute Häufigkeit
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|(gewürfelte Anzahl) ≙ absolute Häufigkeit
 
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Fülle die Lücken des Textes mit den richtigen Zahlen.
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<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
  
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Die Zahl 4 wird bei 100maligem Würfeln 26 Mal gewürfelt. Die relative Häufigkeit beträgt '''<math>\frac{26}{100}</math>'''. In Prozent sind das '''26'''%
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Die Zahl 4 wird bei 100-maligem Würfeln 26 Mal gewürfelt. Die relative Häufigkeit beträgt '''<math>\frac{26}{100}</math>'''. In Prozent sind das '''26'''%
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Die relative Häufigkeit der Zahl 3 beträgt bei 50-maligem Würfeln <math>\frac{1}{10}</math>. Die 3 wurde also '''5''' Mal gewürfelt.
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Eine Münze wird 5 Mal geworfen. 3 Mal landet sie auf der Kopfseite, 2 Mal auf der Zahlseite. Die relative Häufigkeit, dass die Münze auf der Zahlseite landet beträgt '''40'''%.
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Die Zahl 8 wird bei 25-maligem würfeln 5 Mal gewürfelt. Ihre relative Häufigkeit beträgt '''20'''% oder '''<math>\frac{10}{50}</math>'''.
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Es wurde 50 Mal gewürfelt.Die absolute Häufigkeit der Zahl 6 beträgt '''24'''% also <math>\frac{12}{50}</math>.
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Aus einer Urne mit blauen, gelben und roten Kugeln werden 20 Kugeln blind herausgenommen. 7 davon sind blau. Die relative Häufigkeit eine blauen Kugel zu ziehen liegt also bei '''35'''%.
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Eine Münze wird 8 Mal geworfen. 3 Mal landet sie auf der Kopfseite, 5 Mal auf der Zahlseite. Die relative Häufigkeit, dass die Münze auf der Zahlseite landet beträgt '''62,5'''%.
 
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Die relative Häufigkeit der Zahl 3 beträgt bei 50maligem Würfeln <math>\frac{1}{10}</math>. Die 3 wurde also '''5''' mal gewürfelt.
 
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Aktuelle Version vom 10. Januar 2020, 11:55 Uhr


Zufallsexperimente

Definition:

Wenn der Ausgang eines Experiments nicht vorhergesagt werden kann, aber alle möglichen Ergebnisse bekannt sind, nennt man es ein Zufallsexperiment.


Menschenaergern.svg
thum

Beispiel:

Fast jeder wird im Alltag regelmäßig Ausführer eines Zufallsexperiments. Ein gutes Beispiel sieht man beim Spielen von "Mensch ärger dich nicht". Wenn ein Spieler an der Reihe ist, würfelt er, um mit seiner Figur vorrücken zu können. Dieses Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Wie wir in der Definition gelernt haben, ist ein Merkmal von Zufallsexperimenten die Unbekanntheit der Ergebnisse. Dies trifft auch beim Würfeln zu, da der Spieler nicht wissen kann, welche Zahl er würfeln wird. Obwohl das Würfelergebnis noch unbekannt ist, besteht das zweite Merkmal eines Zufallsexperiments darin, dass alle möglichen Ergebnisse bekannt sind. So auch beim Würfeln: Da die Spieler wissen, dass ein Würfel 6 Seiten hat, wissen sie auch, dass die Ergebnisse 1,2,3,4,5 oder 6 möglich sind. Welches Ergebnis genau eintritt ist allerdings unbekannt.

Teste, ob du Zufallsexperimente erkennen kannst:


Auswerten von Zufallsexperimenten


Zum Auswerten von Zufallsexperimenten betrachtet man die absolute und relative Häufigkeit.

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt.
Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit/ des Ergebnisses an der Gesamtanzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist.

Abs. und rel. Häufigkeit.PNG


Beispiel:

Craps.jpg










Es wurde insgesamt 100 Mal gewürfelt.
100 = Anzahl der Durchführungen



Augenzahl


1
2
3
4
5
6


gewürfelte Anzahl ≙ absolute Häufigkeit


13
20
14
21
14
18


Anteil der gewürfelten Anzahl an Zahl der Durchführungen ≙ relative Häufigkeit


\frac{13}{100}

=13%

\frac{20}{100}

=20%

\frac{14}{100}

=14%

\frac{21}{100}

=21%

\frac{14}{100}

=14%

\frac{18}{100}

=18%

Nett to know/Gut zu wissen: Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Nach einer großen Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments stabilisiert sich die relative Häufigkeit auf einen bestimmten Wert. Die relative Häufigkeit verändert sich also bei weiteren Durchführungen kaum.

Hier kannst du das Auswerten von Zufallsexperimenten üben:



zum Vergleichen von Dezimalbrüchen Zum nächsten Thema: Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

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